Caputo型分数阶微分方程的两类谱配置法研究

摘要

本文首先介绍了分数阶导数的定义及基本性质以及Jacobi多项式的相关基础知识及带不同参数的Jacobi多项式的转换问题。给出了由Jacobi多项式构造的积分基函数，推导了一阶导数的拟谱微分矩阵，并且用Jacobi多项式对Lagrange插值多项式进行展开，应用Jacobi多项式对分数阶导数的一些特殊性质，给出了任意阶Caputo型分数阶微分算子的拟谱微分矩阵，接下来，我们应用压缩映射来调整配置点的分布，从而更好地逼近算子的奇性，基于此想法我们结合压缩变换在JGL点上构造了左端和右端的Caputo型分数阶导数相应的拟谱微分矩阵，通过逆风格式我们可以对此微分矩阵进行有效的计算。数值实验表明本文给出的关于Caputo型微分算子的两类谱配置法都可以得到理想的数值结果。

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第一章 引言

1.1 分数阶导数及相关问题的历史发展

1.2 研究现状

1.3 研究内容

第二章 基础知识

2.1 Caputo分数阶积分和导数的定义及性质

2.2 Jacobi多项式和Jacobi-Guass-Lobatto插值

2.3 不同参数的Jacobi多项式的转换

第三章 Caputo型分数阶导数的拟谱微分矩阵

3.1 Caputo型分数阶微分矩阵

3.2 数值实验

算例1 分数阶对流方程

算例2 分数阶扩散方程

算例3 稳态分数阶对流扩散方程

算例4 时间和空间分数阶对流扩散方程

第四章 使用映射的Caputo型分数阶微分矩阵

4.1 压缩映射及微分矩阵

4.2 μ∈(0, 1)阶左端分数阶微分矩阵

4.3 μ∈(0, 1)的右端分数阶微分矩阵

4.4 数值结果

第五章 结论

参考文献

致谢

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