一类具有非线性发生率的流行病模型研究

摘要

流行病的传播给人类带来了深重的灾难，人类从很早就开始利用动力学的方法建立流行病传播数学模型，研究流行病传播规律和流行趋势，对流行病的预防和控制工作起到重要的参考价值.本文的目的就是运用动力学的方法对一类流行病模型进行分析，从微分方程的角度出发，来描述流行病的传播过程，揭示其传播规律，然后得出各类不同的人群随时间变化而变化的信息，从而掌握该流行病的规律。 当疾病爆发时，往往不能引起人们的重视，人们甚至忽略了它。因此，疾病的发生率随着患病者数量 的增大而增大，疾病得以迅速地扩散，导致越来越多的人染病甚至死亡。在这种情况下，人们的心理开始发挥作用，于是越来越多的保护措施得以实施，这样人们与疾病接触的机会就变小了，因此单位时间内患病者对易感染者的传染机会变少，疾病的发生率也就变小。为了更好的描述这样一个现象，我们考虑了一类发生率为的流行病模型。我们的模型是利用Kermack与Mckendrick的仓室模型思想和方法将人群分为三类：易感染者类、患病者类、移出者类而建立起来的。 本文分为六节： 第一节中，我们首先介绍了研究流行病模型的历史背景、意义、研究概况以及提出了我们的模型； 第二节中，我们回顾了动力系统的几个基本知识； 第三节中，我们简化了模型，并且对模型进行了定性分析，给出了平衡点存在的条件，然后得出一定条件下，无病平衡点是一个吸引子，这标志着疾病将要消失。另外还给出了正平衡点的拓扑类型； 第四节中，我们给出了模型的Bogdanov－Takens分支。通过对参数的扰动，我们得到疾病要么消失要么成为地方病而长期存在； 第五节中，我们给出了模型的Hopf分支。通过对几组参数的扰动我们也得出了相应的结果； 第六节中，我们对本文进行了总结并且提出了尚未解决的问题。