带约束矩阵方程及其最小二乘法的一个抽象迭代算法及应用

摘要

约束矩阵方程的求解是数值代数领域的重要研究方向之一，是指在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解，约束条件不同，或矩阵方程(组) 不同，则得到不同的约束矩阵方程问题。例如，已知矩阵A、B、X0，求满足一定约束条件的X，使AX=B，且使‖X-X0‖=min就是一个约束矩阵方程问题，称为矩阵方程AX=B的解及其最佳逼近问题；若矩阵方程AX=B 不相容，我们考虑求满足一定约束条件的X，使‖A X- B‖=min，称为矩阵方程AX=B的最小二乘问题，对最小二乘问题同样可考虑最佳逼近问题。 像这样的问题常常在结构动力学、固体力学、物理、地质分子光谱学、电学、量子力学、结构设计、参数识别、自动控制等领域有重要的应用。正是这些领域提出的许多不同类型的问题，刺激了约束矩阵方程理论的快速发展，使得约束矩阵方程问题成为当今计算数学领域的热门研究课题之一。 求解约束矩阵问题的方法主要有矩阵分解法和迭代法，对不同的约束条件和不同的方程类型需要构造不同的公式或算法来处理。本篇硕士论文系统地研究了此类问题，并找到了求解约束矩阵问题的抽象算法，并建立严格的收敛性理论，利用这一算法可求解约束条件为对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、中心反对称矩阵、自反矩阵、反自反矩阵，对称正交对称矩阵、对称正交反对称矩阵、双中心矩阵、Hermite广义Hamilton 矩阵等；可以说只要约束矩阵集合在矩阵空间中构成子空间，都可以考虑用此算法求解，而且这一算法还能把矩阵方程解及其最佳逼近，最小二乘解及其最佳逼近统一处理，因此本文算法有普适性和重要的实用价值。