基于势函数的耗散动力系统的稳定性研究及其应用

摘要

许多生物、物理和化学系统都可以用随机微分方程描述，并且这些系统不满足细致平衡条件。在不满足细致平衡条件下构造一般的随机微分系统的势函数在非平衡统计物理和系统生物医学的研究上有很大的应用价值。本文应用势函数的方法分析了耗散动力系统的动力学性质。由于缺乏一个一般的方法构造耗散动力学系统的“能量”函数作为Hamiltonian来完全决定系统的动力学性质，我们以一个4维线性化的耗散陀螺系统为模型，用Ao的势函数构造方法构造了这个模型的“能量函数”。这个“能量”函数就是Lyapunov函数，并且我们证明可以把这个势函数作为耗散系统的扩展的Hamiltonian。通过分析势函数的Hessian矩阵的稳定性，我们首先能够获得系统状态为渐进稳定的边界条件；其次，我们获得了系统为不稳定、鞍点和Lyapunov意义下稳定的边界条件。因此，我们构造的势函数完全决定了耗散陀螺系统的动力学性质。通过对随机微分系统解的数值模拟，我们验证了系统在渐进稳定状态下的稳态分布就是Boltzmann-Gibbs分布，并且用统计的方法得到了一个4维鞍点有4个势能“低谷”。最后，我们应用势函数解决了2个物理问题：通过清晰的展示稳定边界条件上的奇异性解释了耗散引起的悖论；推测了Tippe top发生翻转的条件。由于这个势函数是从一般的随机微分系统构造的，因此我们可以利用势函数以及适应性景观分析许多生物网络的动力学性质。本文以基因调控网络p53-MDM2为模型研究了系统在双稳态状态下的动力学性质，以此阐述了势函数在系统生物领域的应用。

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第一章 绪论

1.1 概述

1.2 运动稳定性

1.3 势函数的概念和应用

1.4 本文主要内容和创新

第二章 基于势函数的耗散系统的稳定性研究

2.1 耗散引起的不稳定性

2.2 势函数的构造方法

2.3 耗散陀螺系统的势函数

2.4 耗散陀螺系统的稳定性分析

2.5 耗散陀螺系统稳定性的动力学演化

2.6 本章小结

第三章 随机微分系统的数值模拟

3.1 数值模拟方法简述

3.2 用数值模拟的方法验证Boltzmann-Gibbs分布

3.3 鞍点附近的结构

3.4 收敛速度和扩散的关系

3.5 本章小结

第四章 势函数的应用

4.1 耗散引起的悖论

4.2 Tippe top的翻转

4.3 p53-MDM2基因调控网络

4.4 本章小结

第五章 结论与展望

5.1 本文主要结论

5.2 进一步的研究展望

附录A 验证Boltzmann-Gibbs分布的Matlab程序

附录B 分析鞍点结构的Matlab程序

参考文献

致谢

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