同伦分析方法在流体力学和时滞动力系统中的应用

摘要

非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”确实如此，非线性世界千变万化，寻求这些非线性问题的求解方法是一件非常有意义的工作。1992年，廖世俊教授在他的博士论文中首次原创性地提出了同伦分析方法，该方法是一种求解非线性方程级数解的解析近似方法，基于代数拓扑中“同伦”的概念，通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将原非线性问题转化为一系列线性子问题。同伦分析方法的一个显著特点是不依赖于任何小参数，因此不仅适用于弱非线性问题，同样适用于强非线性问题。在同伦分析方法的应用上，廖世俊教授和他的研究团队做了许多开拓性的工作。近年来，同伦分析方法越来越受到国内外研究者的关注，被应用于各个领域。目前，一些研究者正在尝试借鉴该方法的思想来发展求解非线性问题的新数值方法。
　　 本文一方面求解了一些在科学和工程上具有重要意义的问题，如与海洋工程密切相关的流体力学、振动领域中的问题，具体涉及非相似的牛顿流体和非牛顿流体的流动问题、非定常的非线性传热问题、时滞动力系统问题等，另一方面，探索了同伦分析方法在解决非线性问题时出现的新特点和新现象，进一步丰富了同伦分析方法。
　　 首先，在第二、三章中，应用同伦分析方法求解了牛顿流体和非牛顿流体的非相似边界层流动问题。从客观上来说，相似边界层流动是很有限的，Blasius于1908年采用相似解的方法，把偏微分边界层方程变换为常微分方程，完成了平板边界层问题的求解。虽然在某些特定例子中相似解简单而有效，但是绝大多数的边界层流动是非相似的。例如，K.K.Chen和P.A.Libby广泛地研究了这样的边界层：它的特点在于对Falkner-Skan型的自相似绕楔流动边界层稍有偏离。这样的边界层不再是自相似的，但是借鉴相似解的思想，采用非相似变换，应用同伦分析方法仍然可以对边界层偏微分方程组进行求解。
　　 其次，研究了一些耦合的或非定常流动和传热问题。在第四章中，研究了对称楔形从静止突然启动的非定常传热问题。由于采用非相似变换，在边界层近似下，控制方程仍为偏微分方程且边界条件中含有变量，应用同伦分析方法，给出了该问题在整个时间区域和空间区域内一致有效的级数解以及局部摩擦阻力系数的显式表达式，并将求得的级数解与数值方法的结果做了比较。在第五章中，主要从同伦分析方法优化的角度做了探讨。对于相当复杂的边界层方程，尤其控制方程是偏微分方程的问题，应用优化的同伦分析方法(OHAM)可以提高同伦分析方法(HAM)的计算效率。对于前面几章所研究的问题进行了计算精度及计算效率的比较，给出了针对复杂问题选择适当优化方法的新的参考标准。
　　 最后，将同伦分析方法应用于与海洋工程密切相关的振动领域中的问题。在第六章中，分析了强非线性时滞对于动力系统的Hopf分岔引起的周期运动的影响。
　　 上述工作表明，同伦分析方法是一种有效的求解非线性问题的工具，不仅可以求解非相似、非定常的非线性问题，而且可以求解与海洋工程密切相关的时滞振动领域中具有多解的非线性问题，该方法可望在工程和科学中得到更加广泛的应用。