分析转移矩阵理论在一维波动力学中的应用

摘要

本文主要讨论了分析转移矩阵（ATM）理论在一维波动力学中的几大应用，分别是精确的量子化条件，超对称量子力学，量子反射，以及精确的反射、透射时间等。
　　在论文的开始部分介绍了ATM理论，包括光学与一维波动力学的相似性，分析转移矩阵的建立，以及最基本的位相方程的推导。ATM理论处理问题的最基本思想在于将势函数进行分层，用一系列的均匀薄层来取代原势函数；当分层的层数趋于无穷，并且每一层的厚度趋向于零的时侯，其极限形式就是原先的势函数。将每一薄层里面的波函数都以三角函数线性表示出来，再结合边界条件上的波函数及其导数的连续条件，就可以方便的用分析转移矩阵来表征每一薄层。同时，在具体的推导过程中，我们引入了等效波函数q(x)，它的引入使得边界上的两个连续条件合并成为一个，即等效波函数的连续条件，随后可以推导出最基本的位相方程，等效波函数是联系分析转移矩阵与位相方程的重要纽带。
　　利用超对称量子力学，人们逐渐总结出一整套寻找和归纳精确可解势的办法。1983年，形状不变的概念被提出，人们惊奇地发现所有已知的精确可解势都属于第一类形状不变势，而由超对称概念启发而得到的超对称量子化条件出人意料的给出了所有的精确可解势的正确能谱；在这个问题上，我们利用ATM理论成功的解释了超对称量子化条件对这类势函数精确的原因，并且发现了所有精确可解势都满足的一个条件：子波位相在两转折点的区域内的积分是不变量。
　　接下来，本文利用ATM理论推导粒子隧穿中的透射系数的精确计算公式。利用我们之前引入的散射子波，主波和总波矢等概念可以使分析转移矩阵的透射公式更加简洁，而且物理意义也更加明确。这一公式的最大优点在于将半经典近似理论中的转折点概括在一般的情况中，而不需要特别考虑。因此这一公式可以广泛的适用于各种情况，无论是对粒子能量低于势垒的隧穿情形，还是高于势垒的峰值的量子反射情形，对ATM的透射系数公式来说，对上述两个问题的处理在本质上是一致的。
　　量子反射是近来在超冷原子领域中比较热门的研究课题，它可以发生在能量高于势垒顶部的情况下，也可以发生在吸引势的拖尾区域。用来解释量子反射的理论一直比较含糊，其中WKB近似理论通过利用广义的连接公式将WKB区域的WKB波函数与已知的波函数精确解相连接的办法，构造出近似的全局波函数，通过这个全局波函数来解决量子反射的问题。这种方法不太容易使用，并且使用范围受到很大的局限，物理意义也十分含糊。而我们通过对ATM理论推导的精确反射系数公式研究发现，所谓的量子反射其实完全是子波的反射，并且简化过的反射系数公式可以适用于各种情况下的量子反射。
　　时间问题是一维波动力学中争议最多的问题之一，围绕着隧穿时间这一课题，产生了诸如超光速，Hartman效应等许多争论，尝试解答这一问题而提出的新的时间概念也层出不穷，例如驻留时间，Büttiker-Landauer时间和位相时间。在这一混乱的领域，我们利用ATM理论给出了精确的透射时间和反射时间公式，并且成功的发现了量子反射时间与经典力学中反射时间的内在联系：量子反射时间等于经典的反射时间加上一个由子波确定的修正量。

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第一章 绪论

1.1 波动方程

1.2 光波导与势阱

1.3 隧道效应

1.4 本论文的主要内容与创新点

参考文献

第二章 分析转移矩阵方法

2.1 转移矩阵及其基本性质

2.2 矩阵方法求解一维势场问题的例子

参考文献

第三章 子波以及精确的量子化条件

3.1 半经典近似理论的量子化条件

3.2 分析转移矩阵精确量子化条件

3.3 一维任意势阱

3.4 另一种证明方法

3.5 一维任意双势阱的能级分裂[27]

参考文献

第四章 超对称量子化条件

4.1 超对称量子力学

4.2 超对称量子化条件解密

参考文献

第五章 势垒隧穿

5.1 有效质量为常数的一维任意形状势垒

5.2 有效质量与位置有关的一维任意形状势垒

参考文献

第六章 量子反射

6.1 子波与量子反射

参考文献

第七章 散射时间

7.1 子波与一维散射过程中的时间问题

7.2 普适反射时间公式[26]

7.3 透射时间

参考文献

第八章 总结与工作展望

8.1 本文主要工作与创新点

8.2 今后工作的展望

致谢

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