均匀和层状两相饱和孔隙介质半空间的动力Green函数

摘要

固体骨架中含有液体的孔隙介质在自然界是普遍存在的,比如我们熟悉的土壤,岩石,以及人体的骨骼等等都属于此类介质。孔隙介质中波的传播理论在岩石力学、土动力学、地球物理勘探、石油勘探与开采、地震工程、生物力学、化学工程和声学等众多领域都有广泛而重要的应用。多年以来,孔隙介质中波的传播问题一直受到众多学者的关注。基于 Biot理论所建立的关于两相饱和孔隙介质的耦合动力学方程具有非常广泛的适用性和代表性。而本文的研究工作也主要是基于Biot耦合动力学方程来展开。
　　本文的研究工作首先针对齐次波动方程来展开。在柱坐标系下,首先基于u-w方程,在频域内通过引入6个标量势函数,实现位移场的分解。得到了三组耦合的Helmholtz方程组,通过求解特征值问题实现解耦,得到4个独立的标量Helmholtz方程。采用分离变量法得到这些标量Helmholtz方程3D问题的通解。
　　在柱坐标系下,基于u-p方程,在频域内通过引入4个标量势函数,得到一组耦合的Helmholtz方程组和二个标量Helmholtz方程。通过求解特征值问题,得到了控制P1,P2波传播的标量Helmholtz方程,最终也得到了4个独立的标量Helmholtz方程。
　　利用上述柱坐标系下求得的3D问题的通解,考虑了均匀半空间在表面法向和水平向集中力作用下的稳态和暂态响应。
　　在频域内分别基于u-w方程和u-p方程,利用位移场的势函数分解,求解了集中力和流相点源作用下全空间问题的动力Green函数。从求解过程中发现,基于u-p方程求解全空间问题的动力 Green函数更为简便,特别是求解流相点源作用下的全空间问题。而基于u-w方程,对于流相点源作用下的全空间问题,则很难找到对应非齐次方程的特解。相反,基于u-p方程,对于该问题,对应的非齐次方程的特解通过观察法就可直接求得。
　　利用上述求得的齐次波动方程3D问题的通解和非齐次波动方程全空间问题的动力Green函数并结合镜像原理,求解了均匀两相饱和孔隙介质半空间在集中力和流相点源作用下的动力Green函数。通过退化为两种特殊情形:1)表面集中力源作用下的两相饱和孔隙介质半空间,2)埋藏力源作用下的单相弹性介质,并和上述两种特殊情形下已有的解析解比较,验证了本文给出的关于均匀半空间问题的动力Green函数的正确性。数值结果显示,频域内,在点源作用点处,均匀半空间问题的动力Green函数具有奇异性。均匀半空间问题的动力Green函数和全空间问题的动力Green函数在自由表面附近差别较大,在深度较大的地方,二者吻合较好。时域内,在由流相点源所引起的位移曲线上,观测不到S,SP1, SS波的到达。而在由集中力源所引起的位移曲线上,可以观测到 S,SP1,SS波的到达。
　　通过引入一组柱系下的正交函数系 mkR,mkS, mkT来表示已经求得的齐次波动方程3D问题的通解,利用层状介质的反射、透射矩阵法,求解了层状两相饱和孔隙介质半空间在集中力和流相点源作用下的动力Green函数。通过引入正交函数系 mkR,mkS, mkT,实现了面内的P-SV运动和面外的SH运动的分离,从而可以分别来求解这两个互不耦合的系统。给出了层矩阵D的逆矩阵的解析形式,即给出了-1D的具体表达形式。利用体力等效的方法,非齐次的体力项则利用经过集中力和流相点源所在点处水平面上状态向量的间断来表示。数值结果显示,由流相扰动所激发的层状半空间的表面位移场中,观测不到SP1,和S波的到达。而在由集中力源所引起的层状半空间的表面位移场中,可以观测到 SP1和 S波的到达。

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第一章 绪论

§1.1孔隙介质简介

§1.2孔隙介质动力响应问题研究现状

§1.2本论文的主要工作

第二章 位移场的势函数分解与半空间表面在任意集中力作用下的动力响应

§2.1引言

§2.2 Biot理论概述

§2.3位移场的势函数分解与频域内齐次波动方程的通解

§2.4半空间在表面集中力作用下的动力响应

§2.5数值算例

§2.6本章小结

第三章 全空间问题的动力Green函数

§3.1引言

§3.2基于u?w方程的求解

§3.3基于u?p方程的求解

§3.4本章小节

第四章 半空间问题的动力Green函数

§4.1引言

§4.2均匀半空间问题的动力Green函数

§4.3关于解的正确性的验证

§4.4数值算例

§4.5本章小结

第五章 层状半空间问题的动力Green函数

§5.1引言

§5.2柱系下的正交函数系

§5.3层状两相饱和孔隙介质的传播矩阵

§5.4层状两相饱和孔隙介质的反射、透射矩阵

§5.5层状半空间问题的动力Green函数

§5.6数值算例

§5.7本章小结

第六章 全文总结

§6.1工作总结

§6.2论文的创新点

§6.3研究展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间已发表或录用的论文