求解四元数线性代数方程组的迭代算法研究

摘要

四元数是由数学家哈密尔顿发现创造的,它的发现源自兴趣而非实用。现在,四元数和四元数矩阵的应用已涉及航天技术、计算机图形学、机器人工业、物理学、雷达和无线通信等科学研究领域的方方面面。
　　因为四元数体上元素乘法的不可交换性,给计算机处理带来了很大的困难,导致关于四元数矩阵数值计算的研究进展缓慢。鉴于四元数在工程应用上的巨大价值,研究关于四元数矩阵的数值算法困难却具有重大而现实的意义。
　　本文的第1章介绍了四元数和四元数矩阵的相关概念、表示方法以及求解四元数矩阵方程的常用解法;第2章回顾了实数域上的几种经典迭代法。第3-4章是作者的创新研究成果,主要包括:
　　1、就四元数矩阵实数化后的基4分块实矩阵,分别建立了基4Jacobi、基4G-S、基4SOR迭代法,并给出了这3种迭代法收敛的充要条件;
　　2、给出了基4的严格对角占优实矩阵的定义,并针对严格对角占优四元数矩阵,证明了其实数化后的基4分块实矩阵为基4的严格对角占优实矩阵;针对正定自共轭四元数矩阵,证明了其实数化后的基4分块实矩阵为对称正定实矩阵;
　　3、针对严格对角占优四元数矩阵,证明了求解相应线性代数方程组的基4Jacobi、基4G-S法均收敛;针对正定自共轭四元数矩阵,证明了求解其线性代数方程组的基4SOR法收敛。
　　本文设计的5个算例,数值计算结果令人满意。

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符号说明

第一章 四元数与四元数矩阵概述

1.1 研究进展

1.2 基本概念与相关性质

1.3 四元数与四元数矩阵的表示方法及性质

1.4 四元数矩阵研究的目的与意义

1.5 求解四元数矩阵方程的常用方法

第二章 解线性代数方程组的常用迭代方法和收敛性

2.1 迭代法概述

2.2 JACOBI法

2.3 G-S法

2.4 SOR法

第三章 四元数实数化型线性方程组三种典型迭代算法研究

3.1 四元数线性代数方程组Ax?b的等价实表示

3.2 R4J迭代和R4G-S迭代

3.3 R4SOR迭代

第四章 对两类特殊四元数线性代数方程组的求解

4.1 基于严格对角占优四元数系数矩阵的Ax?b

4.2 基于正定自共轭四元数系数矩阵的Ax?b

4.3 数值算例

4.4 进一步的研究方向

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间已发表或录用的论文

附录1 四元数相关研究综述报告

附录2 作者对著名数学家的认识：“中央研究院”院士、中国科学院院士许宝騄简介

附录3 作者对上海交通大学数学系的一些认识：桃李芬芳80载，再创辉煌看今朝

附录4 英译中：利用中位倍数法标化血清蛋白测量