一类推广的无压Euler-Poisson方程组适定性理论

摘要

本文中，我们考虑一类非线性双曲方程，这类方程是描述无压流体运动发展情况的E u le r- poisson方程的推广形式。我们考虑方程的初值问题，然后为Euler-Poisson方程组解的适定性建立一套新的理论。
　　我们对 L eF lo c h在1990年建立的一套方法进行推广，这一方法是建立在Volpert乘积和Lax提出的双曲方程的相关理论的基础之上的。我们为建立适定性理论：此时，方程组的解中有一个函数是测度值函数，而另一个函数是有界变差函数。存在性可以建立正则性比较弱的初值之上，但初值条件必须排除存在中心疏散波的可能性，才能保证唯一性。我们首先解决一个非守恒形式方程组的初值问题，建立有界变差的解。我们真正感兴趣的守恒方程组的解是通过对非守恒方程组进行微分得到的。这就给了我们一个较为完整的存在唯一性定理。当然，当方程组的一个变量（如Euler-Poisoon方程中流体的密度）消失的时候，方程组需要一些特殊的处理。但是这个方法不能够直接运用于高维双曲方程组。
　　为了将相关理论推广到高维情形，我们引进了概率论方法，建立了一个以粘性粒子模型为实体背景的模型，从而找到了一个和方程组的解密切相关的随机序列，找到了Euler-Poisson方程的一个解。但是概率论的手段不能推广到类似于之前章节提到的推广形式的方程组，而仅仅局限于Euler-Poisson方程。

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1 绪论

1.1 问题的提出

1.2 文章结构及主要结论

2 背景资料

2.1 反函数的推广以及变量替换

2 .2 有界变差函数不守恒形式的乘积

3 非守恒形式的BV 弱解

3 .1 弱解的定义和存在性理论

3 .2 唯一性理论

4 守恒形式的BV解

4.1 弱解的定义和存在性理论

4 .2 唯一性理论

5 BV初值条件下的BV解

6 概率方法

6 .1 定义和主要结论

6 .2 粘性颗粒模型

6 .3 一般存在性理论

6.4 高维的EuZer-Poisson方程

7 结论和展望

7 .1 本文主要结论

7 .2 研究中的不足和展望

参考文献

致谢