JACOBI-球面调和逼近及其在求解NAVIER-STOKES方程上的应用

摘要

在研究诸如天气预报，地球内部流体流动，海洋科学以及天体物理中某些问题的时候，经常需要数值模拟流体在球形区域内部的运动。传统的处理方法是采用有限差分法或有限元素法。这两种方法分别具有格式构造灵活方便和对区域形状的广泛适应性的特点。但它们也有两个明显的不足：其一是数值精度受到格式本身的限制，即计算的精度不能随着解的光滑性的增强而提高；其二是往往需要近似处理边晃条件，这会增加计算误差，并可能导致数值边界层。 近三十年来，随着计算机技术的飞速发展，作为解偏微分方程的三大数值方法之一的谱方法正越来越受到人们的重视。谱方法的突出优点是它的高精度。因此可采用谱方法数值模拟流体在球内的运动。但是通常的谱方法只适用于在周期，半周期以及矩形区域上的问题，至今尚没有完善的处理球内问题的谱方法。 在上世纪90年代，郭本瑜教授等发展了一套以球面调和函数为基函数的正交逼近方法，它非常适合于处理球面上的问题，是球面上谱方法的数学基础。 众所周知，在谱方法的理论和应用方面，混合逼近法是经常被考虑的。当我们处理球内问题时，引入球面坐标是一种合理的选择。据此，我们可以在球面上以球面调和函数为基函数而在半径方向以其它适当的正交函数系为基函数，从而构成一种混合谱方法。然而，球面坐标的引入也给我们带来了新的困难，特别是偏微分方程在球的中心处会出现形式上的奇异性。因此，有限区间上常用的Legendre和Chebyshev谱方法就不再适用于半径方向的逼近。 最近，郭本瑜教授等建立了一套相当完整的jacobi正交逼近理论，并提出了适合于一类奇异问题的jacobi谱方法。它为球内的混合谱方法提供了可能性。 本文建立混合Jacobi-球面调和逼近的一些基本结果，并应用于球内Navier-Stokes方程的数值解。 全文共分四个部分。 在第一章中我们简单回顾有关研究工作的历史，叙述本研究工作的动机和本文的结构： 在第二章中我们建立jacobi-球面调和混合逼近的理论： 在第三章中我们研究单位球内带人工压缩条件的Navier-Stokes方程的半离散混合Jacobi-球面调和谱方法； 在第四章中我们专注于单位球内带人工压缩条件的NaVier-Stokes方程的全离散混合Jacobi-球面调和谱方法。我们所设计的求解Navier-Stokes方程的混合谱格式具有如下的一些特点： 首先，我们采用混合坐标方法，即用球面坐标表示空间自变量，而用Descartes坐标表示速度分量。这样既避免了边界条件的近似处理，又实质地简化了理论分析和实际计算。 第二，我们在球面上采用球面调和逼近，而在半径方向采用Jacobi逼近，从而既克服了奇异性的困难又将原问题转化为便于并行计算的简单问题。 第三，我们用Chorin提出的人工压缩条件代替Navier-Stokes方程中的不可压缩条件，因此避免了非物理边界条件的引入。 我们证明了这些格式具有广义稳定性和空间方向的谱精度。数值结果显示了这些方法的优越性，并与理论分析相吻合。 本文得到的一些理论结果和所采用的技巧，同样适用于其它球形区域问题的数值解。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引论

§1.1问题的背景

§1.2研究的内容和特点

§1.3论文的结构

第二章Jacobi-球面调和逼近

§2.1 Jacobi逼近

§2.2球面调和逼近

§2.3混合Jacobi-球面调和逼近

第三章求解Navier-Stokes方程的半离散混合Jacobi-球面调和谱方法

§3.1预备知识

§3.2半离散格式及其广义稳定性和收敛性

§3.3半离散格式在时间方向离散下的数值结果

§3.4半离散格式的广义稳定性和收敛性的证明

第四章求解Navier-Stokes方程的全离散混合Jacobi-球面调和谱方法

§4.1全离散格式及其广义稳定性和收敛性

§4.2全离散格式的数值结果

§4.3全离散格式的广义稳定性和收敛性的证明

结论

参考文献

作者攻读博士学位期间发表的论文

致谢