凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析

摘要

本文利用常秩定理对一类Hessian方程给出几个凸性的结果。同时，运用[21]中的思想还能得到相应Hesaian算子的第一特征值的关于区域的Brunn-Minkowski不等式，关键是利用了“严格”的凸性结果。主要结果为： 定理0.1.设Ω为R3中光滑有界严格凸区域，若u∈C∞(Ω)为{S2(D2u)=1inΩ,u=0on()Ω的允许解，则-(-u)1/2严格凸，且凸性指标1/2最佳。 定理0.2.设Ω为R3中光滑有界严格凸区域，若u∈C∞(Ω)∩C1,1(-Ω)为{S2(D2u)=λ(-u)2inΩ,u=0on()Ω的允许解，则-log(-u)严格凸。 在解具有上述正则性的情况下，进一步得到S2第一特征值λ的Brunn-Minkowski不等式，即λ-1/4为区域的凹函数，描述如下： 定理0.3.对任意两个3维凸体K0，K1和t∈[0，1]，λ满足不等式λ((1-t)K0+tK1)-1/4≥(1-t)λ(K0)-1/4+tλ(K1)-1/4(0.3)等号成立当且仅当K0，K1为[同]位[相]似，即相差一个平移或伸缩。

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文摘

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第一章引言

第二章定理1.24的证明

第三章Brunn-Minkowski不等式

参考文献

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