三点式纤维化的整体不变量

摘要

寻找代数曲面的不变量之间的关系是代数几何的重要问题．计算带有纤维化的曲面的不变量等价于计算纤维化的相对不变量．对于直纹面和椭圆纤维化以及超椭圆纤维化的不变量，人们已有有效的计算方法．非超椭圆纤维化的不变量计算是代数几何中未解决的问题．而三点式(Trigonal)纤维化是非超椭圆纤维化中最简单的情形．例如亏格3和亏格4非超椭圆纤维化都是三点式纤维化． 经过一个基变换后，三点式纤维化曲面都有一个到直纹面的三次覆盖，因此我们可以利用三次覆盖理论来计算不变量．我们可以从一个几何直纹面上的三次覆盖出发，并且利用典范解消来解消曲面上的奇点．这时我们就有公式来计算光滑曲面的不变量．为了回到原始曲面，我们还得收缩纤维中的(-1)-曲线．因此主要问题就是计算典范解消产生的垂直(-1)-曲线的条数．对三次覆盖来说，这是一个未解决的问题． 对于二次覆盖，类似的问题被E.Horikawa[19]和肖刚[61]解决．他们将分歧轨迹中的奇点分为两类，并且对每一类奇点都有公式计算这种(-1)-曲线的条数． 对于三次覆盖，我们找到分歧轨迹奇点的一种数值分类．我们将奇点分为9类，并且对每一类奇点，我们也知道典范解消产生的垂直(-1)-曲线的条数．这样我们就得到了原始曲面的不变量．如果把我们的方法应用于二次覆盖，那么我们也可以得到E．Horikawa和肖刚的结果． 作为应用，结合陈志杰和谈胜利[12]的研究结果，我们得到了亏格3半稳定非超椭圆纤维化的不变量计算公式．从而我们解决了M．Reid[46]于1990年提出的猜想．对任意亏格的三点式纤维化，我们得到了它的斜率的上界，推广了陈志杰和谈胜利的相关结果． 此外，对任意次覆盖的分歧轨迹的奇点，我们也有类似的数值分类[36]．

目录

文摘

英文文摘

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第一章引言

1.1研究背景

1.2主要结果

第二章三次覆盖基本理论

2.1三次覆盖数据

2.2典范解消

2.3不变量计算公式

第三章奇点的数值分类

3.1分歧轨迹奇点的数值分类

3.2奇点解消产生的(-1)-曲线的数值分析

第四章三点式纤维化的预备知识

4.1稳定约化的数值不变量

4.2三次覆盖的规范模型

4.3相对分歧指数

第五章奇异性指数

5.1奇异性指数

5.2计算典范解消产生的(-1)-曲线条数

第六章几个引理的证明

6.1一些记号说明

6.2引理5.1的证明

6.3引理5.2的证明

第七章半稳定纤维化的不变量

7.1亏格3纤维化的不变量

7.2一般情形的不变量公式

第八章三点式纤维化的斜率上界

第九章n次覆盖奇点的数值分类

9.1 n次覆盖的奇点解消

9.2分歧轨迹奇点的数值分类

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢