四维系统中的翻转同宿分支问题

摘要

由于同宿分支问题在广大学科中的应用性，近半个世纪以来，其研究获得了极大的发展(见参考文献)。其中同宿翻转的现象，即轨道翻转和倾斜翻转，从十几年前开始就已经成为了热点之一。因为伴随着通有性条件的破坏，倍同宿分支和倍周期分支有可能出现，从而又可能导致马蹄动力系统出现，这里倍同宿(倍周期)分支是指把2<'n-1>-同宿轨道(周期轨道)变为2<'n>-同宿轨道(周期轨道)的余维一分支，因此文[6，43-45，59，80，81，109]详细讨论了倍同宿分支耦合和倍周期分支耦合。但是由于翻转现象的复杂性，到目前为止，对于余维三及以上的同宿分支，例如共振轨道翻转和共振倾斜翻转，结果还尚不完善。 本论文主要讨论了一个具有实鞍点的四维常微分系统，在一定条件下的余维三和余维四翻转同宿分支。第一章我们主要研究一类余维三的同宿双轨道翻转现象，证明了余维一的鞍结分支，倍同宿分支和倍周期分支的存在性及存在区域；并且指出在两条鞍结分支曲线的交接处，一条余维二的三重周期轨分支将会出现；同时当一条同宿分支曲线和一条鞍结分支曲线相交时也可产生一条余维二的同宿倍周期分支。在此基础上，我们还给出了1-周期轨道，1-同宿轨道，2<'n>-周期轨道和2<'n>-同宿轨道的存在性，存在数量和它们的共存性。在接下来的两章中，分别考虑了主特征值共振和轨道切方向共振下的两种余维四的一轨道翻转和两倾斜翻转的同宿分支问题。我们指出在一定条件下系统最多存在一条1-周期轨道或者一条1一同宿轨道，并且它们不能共存；而当此类条件被破坏时，余维一的鞍结分支，倍同宿分支和倍周期分支；余维二的三重周期轨分支和同宿倍周期分支在特征值满足2λ<,1>>λ<,2>>p<,2>或2λ<,1>>p<,2>>λ<,2>时仍然会发生。最后我们研究了在两种同样的特征值共振下的双同宿轨道翻转，即。。一型同宿轨道的分支。证明了在小参数位于特定的余维一曲面上时的双同宿轨道的保存性。除此之外还推导出在双同宿轨附近系统可分别存在两条大1-周期轨道，一条大1-同宿轨道，一条大2-同宿轨道或者一条大2-周期轨道。对于以上所获结果，我们给出了相关分支图像，清楚展示了各种分支曲线和相应的n-周期轨道和n-同宿轨道的分布。本文使用的方法最初是文[117，121]提出，而后被[48-50，104]等广泛采用：即通过复合一个定义在同宿轨邻域内的正则映射或者半局部映射和一个定义在系统奇点小邻域内的奇异映射来构造Poincaré映射继而得到易于研究的后继函数，其中的正则映射是由一个变分系统的基解矩阵特别构造的，而奇异映射则是由系统规范型解的线性部分构造。通过本文的研究，我们对于高余维的多翻转分支问题有了比较全面的认识，证明了倍同宿分支和倍周期分支的广泛存在性。此类问题都是第一次获得研究，其结果也相对完整。

目录

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摘要

外文摘要

Chapter 0 Introduction

1 Threshold

2 Background of the study

3 Main work of the thesis

Chapter 1 Bifurcation of homoclinic orbit connecting nonleading eigendirections

0 Introduction

1 Problem and hypotheses

1.1 Problem

1.2 Hypotheses

1.3 Main results

2 Poincaré return map and successor function

2.1 Normal forms

2.2 Poincaré return map

2.3 Successor function

3 Study of bifurcations

3.1 Saddle-node bifurcation SN1h and SN2

3.2 Homoclinic and double periodic bifurcation SH1

3.3 Homoclinic-doubling bifurcation H2n and period-doubling bifurcation P2n

Chapter 2 Bifurcation of three homoclinic flips with principal eigenvalues resonance

1 Hypotheses

2 Normal forms and successor function

2.1 Normal forms

2.2 Poincaré return map

2.3 Successor function

3 Uniqueness of 1-periodic orbit and 1-homoclinic orbit

4 Bifurcations of 2λ1 ＞ λ2 ＞ ρ2

4.1 Saddle-node bifurcation SN1

4.2 1-homoclinic bifurcation H1

4.3 Homoclinic-doubling bifurcation H2n and period-doubling bifurcation P2n

5 Bifurcations of 2λ1 ＞ ρ2 ＞ λ2

5.1 Saddle-node bifurcation SN1 and SN2 and homoclinic and double periodic bifurcation SH1

5.2 Homoclinic-doubling bifurcation H2n and period-doubling bifurcation P2n

Chapter 3 Bifurcation of three homoclinic flips with tangent directions resonance

1 Hypotheses and successor function

2 Analysis of bifurcations

2.1 Saddle-node bifurcation SN1

2.2 1-homoclinic bifurcation H1

2.3 Homoclinic-doubling bifurcation H2n and period-doubling bifurcation P2n

Chapter 4 Bifurcation of double homoclinic flip or-bits

0 Introduction

1 Hypotheses

2 Normal forms and successor function

2.1 Normal forms

2.2 Poincaré return map

2.3 Successor function

3 Prinicipal eigenvalues resonance

3.1 Persistence of double homoclinic flip orbits

3.2 1-homoclinic bifurcation H1

3.3 Saddle-node bifurcation SN1

3.4 Homoclinic-doubling bifurcation H2

3.5 Main results

4 Orbit tangent directions resonance

4.1 Persistence of double homoclinic flip orbits

4.2 1-homoclinic bifurcation H1

4.3 Saddle-node bifurcation SN1

4.4 Homoclinic-doubling bifurcation H2

4.5 Main results

References

博士期间完成的科研工作

致谢