外区域上Dirichlet-Neumann算子的对角化和广义逆的正则逆表示

摘要

本文是在法方导师Francois Alouges和中方导师陈果良教授的共同指导下完成的,全文共分成五个部分,第一部分是外区域上的Dirichlet-Neumann算子的对角化,这部分工作是在法国期间由法方教授Francois Alouges指导完成,其余四个部分关于互补广义逆的性质推导及应用则是中方导师陈果良教授悉心指导的结果. 若Ω是Rd(d=2 ou 3)中的一个闭的凸集,在实际应用中经常需要求如下的能量积分(例如铁磁学中关于磁能的计算)∫Rd/Ω｜△φ｜2,其中φ满足在Ω上调和并且在无穷远处趋于零.利用Dirichlet-Neumann算子的定义,上式可以改写为∫Rd/Ω｜△φ｜2=∫Ωφ0DN(φ0).然而众所周知,已有的求解Dirichlet-Neumann算子的近似算法的时间是与边界Ω上的点的个数成平方关系,当点的个数足够多时,这将导致实际计算的困难,区域是三维的情形这一困难尤为突出. 本文的想法是利用Dirichlet-Neumann算子DN的特征值和特征向量(λn,ψn)n≥1来逼近上述能量方程.若φ0=∑n≥1(φ0,ψn)ψn,那么很自然的我们有DN(φ0)=∑n≥1λn(φ0,ψn)ψn,此时能量方程转化为∫Rd/Ω｜▽φ｜2=∑n≥1λn(φ0,ψn)2。我们可以用有限项来逼近上式,∫Rd/Ω｜▽φ｜2～P∑n=1λn(φ0,ψn)2。通过本文第一部分的实例我们知道当区域为规则的圆或椭圆时,上式将很快收敛,即能量是南Dirichlet-Neumann算子DN的最小的若干个特征值和特征向量来决定.从而上述问题转化为求解Dirichlet-Neumann算子DN的最小的若干个特征值和相应的特征向量. 在本文的第一章中我们首先分析了当区域为圆和球的情形,通过Fourier分析和调和分析,我们得出了如下结论： 当区域为圆时,Dirichlet-Neumann算子DN的特征值为λn=｜n｜,其重数为2,相应的特征向量为ψn=einθ,即Fourier基. 当区域为球时,Dirichlet-Neumann算子DⅣ的特征值为λn=n,但其重数为2n+1,相应的特征向量为Yιm,为调和函数的基. 利用无限元的思想,通过类比三角流我们给出了求解Dirichlet-Neumann算子DN最小若干个特征值和相应的特征向量的一个线性算法. 通过大量的实例,与已有的方法相比我们的算法精度更高,且计算时间与区域上的点的个数成线性关系,这导致虽然当点数较少时,我们的算法需要较多的时间,但当点数足够多时,我们的方法将体现出其优越之处. 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、网络优化等重大领域有着极其广泛的应用.随着科技进步,矩阵理论在实际中应用越来越广泛,矩阵理论的研究也显得越来越重要.在实际应用中,经常遇到如下的线性方程组：Ax=b,其中A ∈Cm×n,x∈Cn,b∈Cm (1)根据广义逆的相关理论,矛盾线性方程组的最小二乘解与A的{1,3}-逆有关,相容线性方程组的极小范数解与A的{1,4}-逆有关,矛盾线性方程纽的极小范数最小二乘解则与A的M-P广义逆有关. 随着广义逆研究的深入,又产生了群逆,Drazin逆,Boot-Duffin逆,加权广义逆,α-β广义逆,AT,S(2)逆等其它广义逆.它们的部分定义罗列如下,相关性质可参阅参考文献[5,81,82,83,84,85]等. 设A ∈Cn×n,满足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小正整数k称为A的指标,记为ind(A)=k.则满足：(1k)AkGA=Ak;(2)GAG=G;(4)(5)AG=GA的矩阵G ∈Cn×n称为A的Drazin逆,记做A(d).当ind(A)=1时,Drazin逆称为群逆,记做A＃.设A ∈Cn×n,L Cn,且ApL+PL⊥非奇异,则称AL(-1)=PL(APL+PL⊥)-1 (5)为A的Boot-Duffin逆.设A ∈Cn×n,L∩Cn,当A为”L-零”阵时.(当AL∩L⊥=0时,A称为

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

声明

Chapter1 Diagonalization of exterior Dirichlet to Neumann map on general shapes in 2D and 3D

1.1 Introduction

1.2 The special case of the disc

1.3 Approximate solution of DN with the IEM on an exponential mesh

1.3.1 Construction of the exponential mesh

1.3.2 The special case of the disc with the Fourier method

1.3.3 Solving one DN problem

1.4 Spherical harmonics

1.5 Three dimensional exterior problems of the Laplace equation with the IEM

1.5.1 Construction of the exponential mesh

1.5.2 Construction of the stiffness matrix and the mass matrix

1.5.3 Impact on implementation

1.6 Diagonalization with a triangular flow

1.6.1 Principle of the triangular flow method

1.6.2 Solving with a Adaptive time-stepping Runge-Kutta method

1.7 Numerical results

1.8 Conclusion

1.9 Application

Chapter2 Explicit formulas of the common generalized inverses, perturbation analysis and the iterative computing methods

2.1 Introduction

2.2 Definition of complementary generalized inverse and its proposition

2.3 Perturbation theory of A(-1)/T,S and iterative computing methods

2.4 Relationship between A(-1)/T,S and A(2)/T,S

Chapter3 A note on the generalized Bott-Duffin inverse

3.1 Introduction

3.2 Main results

Chapter4 Explicit formulas of the generalized inverse A(-1)/T,S and its applications

4.1 Introduction

4.2 Main results

Chapter5 Application of explicit formulas of the generalized inverses

5.1 The reverse order

5.2 Lowner partial order

5.3 Continuity

5.4 Computing methods for generalized inverse

Bibliography

博士期间发表论文

致谢