A型李代数亚正则幂零表示的小Verma模的连接图谱

摘要

在本文中主要研究素特征域上An型李代数的亚正则幂零表示的小Verma模及其Hom空间，这是李代数的表示理论中极其重要的研究对象。Jantzen对于该表示范畴做过细致的研究，他通过引进Ux(g)-To模的概念并结合Premet的出色方法对于基本室上的小Verma模的合成因子作出了精细的分析和构造，并最终得到了不可约模的完整刻划(cf.[J2])。在Jantzen工作的基础上，本文证明了：在亚正则幂零p特征标X所对应的表示范畴中，同一个块(block)中的任意两个小Verma模(baby Verma module)之间的Horn空间非零，从而揭示了亚正则幂零表示的小Verma模之间连接关系的完整图谱，这是简约李代数模表示理论的新结果。
　　 本文的研究成果主要有以下几个方面：
　　 1．在Jantzen工作(cf．[J2]，2.1-2.14)的基础上，对任意正整数k,对An型李代数的亚正则幂零表示的小Verma模Zx(入k)，细致地列出了它的合成列，并确定了它的合成因子。
　　 2．Zx(入k)作为Ux(g)-To模，在Zx（入k），k=O，1…n序列中，考虑相邻的小Verma模作为Ux(g)-To模之间的Horn空间，给出了这些Horn空间什么时候非零的充分条件。
　　 3．对Ux(g)模Zx(入k），对任意i，j∈{0，1，…，n），考虑Zx（入ci)与Zx(入j)作为Ux(g)模的Horn空间。先将问题转化为考虑Zx（入o）与Zx（入i）作为Ux(g)模的Hom空间，再对落在基本室的闭包C中的任意位置的权入o，证明了Homux(g)(Zx(入o)，Zx（入i））非零，以及Homux(g)（Zx（入i），zx(入o))非零，从而推导出Homux(g)（Zx（入i），Zx(入j))非零，并最终揭示了在同一个块中任意两个小Verma模之间具有“强连接关系”。