几类线性系统的预处理和矩阵的Hadamard积

摘要

科学与工程的众多领域如高阶偏微分方程、计算流体力学、电磁学、约束优化和线性互补问题等都离不开大型线性系统的求解.研究这些大型线性系统的快速迭代方法具有重要的理论意义和应用价值.本文对M（H）矩阵线性系统和鞍点系统的迭代求解和预处理技术进行了深入的研究.同时研究了矩阵的Hadamard积的谱半径的估计.本文的研究成果可以分为三大类.
　　 1.M-(H-)矩阵线性系统的预处理本部分的研究共有两章，主要讨论了M-（Ⅱ-）矩阵线性系统的预处理技术.在第二章主要研究了M-矩阵线性系统的预处理技术.根据M-矩阵的结构特点，给出了几个新的预处理子，分析了预处理Gauss-Seidel迭代法的收敛性.同时，利用矩阵分裂和比较定理，理论上证明了所提预处理迭代法具有较好的收敛速度，数值试验也表明了方法的有效性.第三章研究了H-矩阵线性系统的预处理技术.首先给出了H-矩阵线性系统的广义预处理子.利用H-分裂和H-相容分裂理论，给出了预处理矩阵的收敛性分析和参数的收敛区间.
　　 2.鞍点系统的预处理第四章主要研究鞍点系统的预处理技术.建立在正稳定和不定块预处理子的基础上，首先讨论了由麦克斯韦方程离散出来的对称鞍点问题的预处理技术，提出了带有参数的块三角形和块三对角预处理子.对于非对称鞍点问题，给出了带有参数的增广块三角形和块三对角预处理子.同时，详细分析了预处理鞍点矩阵的谱和参数的选取，理论分析表明只要参数取适当的值，预处理鞍点矩阵的谱将高度聚集于l附近.数值试验也表明所提预处理子的有效性.
　　 3.非负矩阵和M.矩阵的Hadamard积第五章主要讨论了非负矩阵和M-矩阵的Hadamard积的谱半径的估计.对于两个非负矩阵，利用Hadamard积的性质和非负矩阵的谱半径的估计，给出了两个非负矩阵Hadamard积的谱半径的上界.对于两个M-矩阵，利用Fan积的性质和特征值的Cassini卵形包含定理，给出了两个M-矩阵Fan积的最小特征值的新的下界.这些界改进了已有的结果.