磁Schrödinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性

摘要

液晶和超导的技术在现代物理中有着广泛的运用.以超导为例，它可以用于能源、医疗、信息、国防等诸多方面.在现实生活中，最常见的液晶是作为传递信息的工具--液晶显示，它提供了人与机器对话的平台.相信在未来的时间里，液晶和超导的研究仍然是物理学家和数学家所关注的焦点.
　　 在超导的数学理论研究中，我们考虑磁Schrodinger方程：-△ψ+i[2A·▽ψ+(divA)ψ]+｜A｜2ψ=f(｜ψ｜2)ψ在Ω中，其解ψ的结点集N(ψ)的情况.在超导物理学中，N(ψ)被称为涡旋集.在该点处超导体有磁场穿过，失去超导性.对N(ψ)的研究有助于了解涡旋集的性质.
　　 众所周知，有关结点集N(ψ)的研究难点主要集中在临界集S(ψ)上面.故首先，在边界条件：▽Aψ·ν=0下，我们对磁Schrodinger方程解的临界集建立了整体的1维Hausdorff测度估计.这与之前有关临界集的Hausdorff测度研究的情形有所不同.在我们的问题中，方程解是复函数而非实函数；其二，我们考虑的方程是带有磁Schrodinger算子；第三，我们能将估计做到整个区域上，而非局部的估计.
　　 其次，我们来研究N(ψ)的情况.由于ψ是复值函数，故N(ψ)的几何结构往往很复杂，可能为孤立点、曲线、甚至曲面.面对此问题，我们选择对ψ附加了“拟共形映射”的条件.证明了在该条件下，ψ的结点集N(ψ)是1维可数可求长的，并且其1维Hausdorff测度是有界的.
　　 为了能获得有关结点集的更多信息，下面我们从拓扑的角度来研究方程解的复杂性.即考虑结点集的拓扑性质--Betti数.J.Milnor([53])曾对多项式结点集的Betti数总和给出了一个上界估计.而对于一般的二阶椭圆型方程的情况，目前尚无结果.我们证明了对一般的二阶椭圆方程的解u，其结点集N(u)的Betti数总和是有界的.通过Betti数的研究，本质地揭示了结点集的几何特征，也使我们对结点集的几何结构有进一步的了解.
　　 在液晶的数学理论研究中，Landau-de Gennes模型是描述液晶相变过程的重要模型之一.这里我们主要考虑Landau-de Gennes泛函的一个简化形式：
　　 ε[Ψ，n]=∫Ω{｜▽qnΨ｜2-k2｜Ψ｜2+k2/2｜｜4+K1｜divn｜2+K2｜curln+Tn｜2}dx，建立了非平凡极小元(Ψ，n)的部分正则性结果，即在Ω中除去一个1维Hausdorff测度为0的相对闭集之后，(Ψ，n)是解析的.它的研究与Oseen-Frank泛函的情形不同：其一，我们研究的Landau-de Gennes泛函是两个变量的泛函，并且我们将序参数Ψ视为一个独立于向量场n的变量.另外，我们研究的泛函中包含了与Oseen-Frank泛函不同的能量项，因此，它将给的定理的证明带来一定的复杂性.
　　 通过部分正则性的研究，使我们对液晶的物理性质有了更加深入的了解.