不可压Navier-Stokes方程解的定性研究:正则性、外区域中解的适定性与渐近性态

摘要

该论文分成两个部分.第一部分讨论Navier-Stokes方程弱解的正则性问题；第二部分讨论的是外区域中Navier-Stokes流的存在唯一性与渐近性问题.三维不可压Navier-Stokes方程弱解的正则性是一个极具有挑战性的公开问题.目前在这个领域有两个主要的研究方向.其一就是考虑奇异集合的大小(所谓的部分正则性)，另一个方向是寻求弱解的充分条件以保证没有奇性发生(所谓的正则性准则).本文考虑的正是第二个方向.我们将给出有意义的互不相同的正则性条件来确保解的光滑性.第二部分是本论文的主要部分也是作者在这个方向的主要贡献.外区域中的Navier-Stokes流体也是一个富有意义的问题.具体说来，当一个物体以恒定的速度经过一雷诺数小于50的流体的时候，该物体周围流体的运动呈现的是层流.Stokes方程对于雷诺数小于1的流体运动提供了很好的刻画，但对于较大的雷诺数我们需要借助Navier-Stokes方程来获得精确的结果.我们考虑一个物体在雷诺数小于50的不可压缩流体中沿着平行于一墙状障碍物以恒定的速度在一无界的区域里运动，那么该物体周围流体的运动可以用外区域中不可压缩的Navier-Stokes方程和一定的边界条件来进行刻画，这里的边界我们一般考虑的是墙壁、物体的表面和无穷远处.该模型一个很重要的实际应用就是用来描述产生于液体中的气泡沿着平行于墙壁运动的情形.本文考虑具有固定形状的单个气泡在不可压缩流体中沿着平行于墙壁的方向运动，运用截断函数的技巧我们将以一具有紧支集的源项来取代该气泡得到一个稳态的Navier-Stokes方程，实际上亦是气泡问题的一个简化模型.然后选取适当的变量作为“时间”变量，运用动力系统和傅里叶变换的方法旨在证明该问题解的存在性与唯一性并得到方程解的一致估计.在有了解的存在性后，我们试图进一步具体刻画该解在无穷远处的渐近行为.为了达到这一目的，在所构造的函数空间中，通过仔细分析速度场每个分量的具体构成，我们找出其主导项，然后在傅里叶空间中提取这些主导项的渐近信息去描述速度场的每个分量的渐近性态，最后运用反傅里叶变换可获得速度场的渐近表达式.