分形几何在统计物理中的应用

摘要

该学位论文研究分形几何在统计物理中的应用,其目的在于:1.确定Cantor型集合上的扩散方程的扩散核;2.给出分形集上扩散方程的精确解,并讨论解在原点与无穷远点的渐近性;3.用整体自相似过程生成标准Brown运动,构造新的分数Brown运动(fBm)模型以及定义一类新的多重分数Brown运动(mfBm);在第一章,我们研究了分形集上的扩散核与扩散方程,得到了分形集上扩散核的具体表达式.特别地,我们得到了分形集上扩散方程的精确解.在第二章,我们首先给出了分形集上扩散方程的更易计算精确解,其次我们给出了扩散方程解的渐近行为.在第三章,无论分形集的生成压缩映射是线性的,还是非线性的,我们确定了扩散方程核中所含的未知常数A的值,并且确定了扩散指数γ的取值范围,进而将扩散核完全地确定.此外我们还讨论了上述问题的逆问题,并给予了准确的回答.在第四章,我们给出了标准Brown运动B(t)与自相似过程之间的关系.此外我们还构造了一类新的分数Brown运动,它与Mandelbrot以及Barton-Decreusefond分数Brown运动都不等价.在第五章,我们将Barton-Decreusefond分数Brown运动推广到了多重分数Brown运动的场合,得到了样本路径的连续性以及最大模的估计.

目录

文摘

英文文摘

引言

第一章分形集上的扩散核及随机介质中传输方程的确定

1.引言

2.分形集上扩散核的确定

3.自相似集上扩散方程的扩散核

4.附录

第二章随机介质上扩散方程解的性质

1.引言

2.分数次扩散方程精确解的另一表达式

3.p(r，t)在原点附近的性质

4.p(r，t)在无穷远点的性质

5.附录

第三章分形集上扩散核中常数A的确定及反问题

1.引言

2.扩散核的确定

3.反问题

4.结论

5.附录

第四章整体自相似过程表示标准Brown运动

1.引言

2.一类新的fBm过程

3.用整体自相似过程BH(t)构造标准Brown过程

第五章一类新的多重分数Brown运动

1.引言

2.定义与基本性质

5.3结论

参考文献

致谢

附录