多电极成象测井的数学模型和正则化

摘要

该文主要讨论多电极成象测井中的偏微分方程的反问题,将其化约为一个多参数辩识问题,用拟牛顿方法和遗传算法进行求解.多电极成象测井是一种新的电阻率测井技术,这一测井技术的电极系中含有多个测量电极,可提供较多的测量信息,从而有助于以较高的分辨率确定地层电阻率参数.多电极成象测井反问题可以归结为一个非线性多参数优化问题,其中待确定的参数较多,计算量较大,而且一般有多个局部极值,是非线性规划中比较复杂和困难的一类问题.该文中对这个问题建立了连续和离散化的数学模型,运用非线性优化和演化计算等数学方法对多电极成象测井反演问题提出了数值求解方法.并用一些数值结果证实了这些算法的有效性.非线性多参数优化问题的数值方法通常是迭代法,但是一般的迭代法收敛慢,因此我们采用计算Hessian矩阵近似矩阵的拟牛顿方法,其中Hessian矩阵的计算采用BFGS迭代公式,从而避免了大量复杂的二次偏导数的计算.由于每次迭代都需要计算目标函数的梯度,通常的差分法求梯度至少需要N+1次正问题方程,计算量比较大,误差也比较大.该文采用伴随状态法求目标函数的梯度,这一方法比一般的差分法更快更精确且不依赖参数的个数N,只需解一次方程即可求的梯度.另外偏微分方程的反问题的一般是不适定的,对于测量资料的微小误差,导致反演出的值和真值的误差比较大.在实际的测井工作中测量电极上的电位信息(测量资料)是测量出来的,测量误差不可避免,所以如果仍然用原来的目标函数,去反演地层的电阻率,反演出来的电阻率的误差就比较大,在该文中我们在模拟数据加上一定的误差,利用正则化方法再来反演,所得的结果也比较好,这样就真正符合了实际的需求.此外我们还利用了比较定理改进了优化算法,节省了计算的时间.另外,作者再利用一种无须计算导数的遗传算法来求解这一问题.遗传算法模拟生物进化,采用简单的编码技术来表示复杂的结构,通过对一组编码进行遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索方向.遗传算法是搜索和优化问题中很有用的工具,特别是对一些复杂结构、多维问题尤其有效,因此我们把遗传算法用于多电极成像测井的反问题的数值求解中.对于这种多参数优化问题,一般方法可能会收敛到一个局部极值,而遗传算法可以收敛到一个全局最优解.

目录

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第一章 引言

第二章 正问题和反问题的数学模型

2.1正问题的数学模型

2.1.1地层模型

2.1.2多电极成像测井问题的微分方程和边界条件

2.2正问题的求解

2.2.1变分模型

2.2.2有限元素法的计算格式

2.3反问题的数学模型

2.3.1微分方程的反问题

2.3.2多电极成像测井的反问题

第三章拟牛顿法求解反问题

3.1拟牛顿方法(Qusi-Newton)

3.2用伴随状态法计算目标函数梯度

3.3伴随状态法与其他方法的比较

3.4正则化

3.4.1不稳定性

3.4.2正则化泛函和正则化参数

3.5利用比较定理改进优化算法

第四章用遗传算法求解反问题

4.1遗传算法的起源

4.2 遗传算法的发展与现状

4.3遗传算法的描述

4.3.1基本遗传算法可以定义为一个八元组

4.3.2遗传算法程序伪码表示

4.3.3编码方案

4.3.4目标函数的适应值

4.3.5主要控制参数

4.4遗传算法的执行过程

4.4.1选择算子

4.4.2杂交(Crossover)算子

4.4.3变异(Mutation)算子

4.5遗传算法的特点

4.6数值实验结果

4.6.1编码方案

4.6.2适应值函数的选取

4.6.3数值结果

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