倒向随机微分方程的最优控制,微分对策和熵风险约束下的最优投资

摘要

本文研究倒向随机微分方程的转换和停止混合最优控制，二人零和微分对策以及熵风险约束下的最优投资.全文分为两部分。
　　 第一部分讨论倒向随机微分方程的转换和停止混合最优控制和二人零和微分对策。在第二章，我们把项目的转换和停止看作实物期权进行数学建模和求解。在第三章和第四章，我们把第二章的问题扩展为一般的倒向随机微分方程的转换和停止。倒向方程的生成元和终端值允许在给定的有限个模式之间转换，并且每次转换都需要-个正的花费。根据转换者和停止者的目标是否一致，我们讨论了混合最优控制以及零和微分对策，给出了最优控制，证明了微分对策值过程的存在性。这两类问题的HJB方程和HJBI方程分别是具有单侧和双侧混合障碍的多维反射倒向随机微分方程。对于具有单侧混合障碍的多维反射倒向随机微分方程，我们用惩罚方法证明了适应解的存在性；通过将解的第一部分表示为混合最优控制问题的值过程，我们得到了解的唯一性。对于具有双侧混合障碍的多维反射倒向随机微分方程，借助于广义单调极限定理，我们用Picard迭代方法证明了适应解的存在性；通过将解的第一部分表示为一维反射倒向随机微分方程的最优转换问题的值过程，我们得到了解的唯一性。第五章介绍在略微不同的假定条件下如何用惩罚方法来证明具有双侧混合障碍的多维反射倒向随机微分方程解的存在性。
　　 第二部分讨论熵风险约束下的最优投资。在第六章，我们首先介绍一致风险度量和凸风险度量的概念，然后推广熵风险度量的定义，最后研究熵风险度量所具有的性质。在第七章，我们用熵风险度量来描述风险约束，讨论投资组合的最优选择。通过分析对偶问题，我们得到了原问题解的存在唯一性，给出了最优终端财富的表达式。