变分法在离子声波方程中的应用

摘要

本文把变分法应用于非线性离子声波方程，建立了其相应的变分原理。变分原理的建立除了在求解近似解析解方面有很大的实际价值外，它还能揭示方程的本质特征，因而变分法得到普遍的关注。全文分为五章： 第一章首先介绍变分法的一些基本概念。 第二章给出了几个具体的例子来说明如何从场方程出发来建立其相应的变分原理。本章也简单介绍了变分反问题的一些基本方法。通过几个例子(非线性Yang-Mill方程和电化学方程)显示半反推法是建立变分原理的有效方法。 第三章介绍了求解非线性方程的几种常用方法，包括传统的摄动法和约化摄动法。 第四章讨论了KdV方程变分原理的建立，并应用Ritz方法得到了孤立波解。与精确解比较说明变分法是求解非线性波动方程的有效方法之一；基于离子声波方程的复杂性，很难直接建立其相应的变分原理。 第五章引进了一个特殊函数，建立了以特殊函数等为独立变量的广义变分原理。对变分原理进行适当的简化后，应用Ritz方法，得到了离子声波方程的一个新孤波解，该孤波解揭示了波的振幅、波速以及孤子宽度之间的相互关系。

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第一章绪论

1.1变分法的研究现状及其发展

1.2非线性方程的研究状况及其发展

1.3本文的主要工作及其意义

第二章建立变分原理的方法

2.1变分法的概念

2.2变分问题的求解

2.2.1 Euler方程

2.2.2 Ritz方法

2.3变分反问题

2.3.1 Yang-Mills方程

2.3.2非线性电化学系统

2.3.3化学反应

第三章求非线性方程的一些解法

3.1摄动法

3.1.1 GM(Gardner-Morikawa)变换

3.1.2约化摄动法

3.2行波解

第四章KdV方程

4.1 KdV方程的一般解法

4.2 KdV方程的变分方法

第五章离子声波方程

5.1引言

5.2离子声波传播的力学分析

5.3离子声波方程的变分原理

5.4化离子声波方程为KdV方程

第六章 结论与展望

参考文献

攻读硕士期间发表的与课题相关的论文

致谢