向量场构成的带权退化次椭圆方程（组）的正则性

摘要

本论文主要研究Hdrmander向量场诱导的,带有Ap权函数的退化次椭圆方程(组)弱解的正则性.HOrmander向量场是满足ffiirmander有限秩条件的非交换光滑向量场,其诱导的几何是一种不同于欧氏空间的非Riemann几何.Ap权函数理论起源于算子加权模不等式的研究,是调和分析的一项重要内容,在偏微分方程方面有着重要应用.HOrmander向量场构成的带权退化次椭圆方程(组)兼具有几何和测度两种退化性,具有重要的科学研究价值.
　　第二章,我们研究了HOirmander向量场诱导的,带有木权函数的线性退化次椭圆方程.第一节研究了一类单权线性退化次椭圆方程的Dirichlet问题,在方程低阶项属于加权Morrey空间的假定下,利用弱解的Green函数表示,Green函数性质,建立了一简单方程很弱解的加权Morrey正则性,由此及Hedberg的思想,得到了所讨论Dirichlet问题弱解的加权Morrey正则性.第二节研究了一类双权线性退化次椭圆方程,在方程低阶项系数属于退化Morrey空间的假定下,利用加权Sobolev不等式,退化Morrey空间的加权嵌入引理,证明了方程弱解的局部有界性,建立了非负弱解的Harnack不等式,得到了弱解的局部H6lder连续性。
　　第三章,我们研究了ffiirmander向量场诱导的,一类单权拟线性退化次椭圆方程.以Hirmander向量场上的加权PoincarS不等式和反向H6lder不等式为工具,获得了弱解梯度的更高阶估计.
　　第四章,我们研究了H6rmander向量场诱导的,双权散度型拟线性退化次椭圆方程组.首先建立了齐次方程弱解的弱Harnack型不等式,然后借助Caffarelli弱解正则性研究的几何思想,获得了方程组弱解的H^der连续性.我们的结果在2　　第五章,我们研究了自然结构条件下H&mander向量场诱导的一类散度型拟线性次椭圆方程,通过建立方程弱解梯度的一些预估计,获得了方程弱解的局部唯一性.值得注意的是,一般的C-C空间并非有极坐标系,为克服此困难,我们在建立弱解梯度预估计过程中用到了“距离环”技巧.

目录

封面

目录

中文摘要

英文摘要

第一章绪论及预备知识

1.1 Carnot-Caratheodory 空间

1.2 Hormander 向量场

1 .3 带权退化次椭圆方程（组）的研究背景和研究现状

1 .4 本文研究的主要内容

第二章线性退化椭圆方程极小假定下弱解的正则性

2 .1 单权线性退化椭圆方程弱解的正则性

2 . 2 双权线性退化次椭圆算子弱解的Holder连续性

第三章拟线性退化次椭圆方程弱解梯度的更高阶可积性

3 .1 拟线性退化次椭圆方程

3 . 2 加权Sobolev空间及加权不等式

3 .3 弱解梯度更高阶可积性

第四章拟线性退化次椭圆方程组弱解的正则性

4 . 1 权函数及加权Sobolev空间

4 .2 退化椭圆方程组及其弱解

4 . 3 弱H am ack不等式

4 . 4 弱解的H61der连续性

第五章散度型拟线性次椭圆方程弱解的局部唯一性

5 .1 函数空间及拟线性次椭圆方程的弱解

5 .2 预备结果

5 .3 弱解的预估计

5 .4 弱解的局部唯一性

第六章结束语

6 .1 全文总结

6 .2 研究展望

参考文献

参加的科研项目

攻读博士期间完成的论文

致谢