边界元非线性特征值问题数值解法

摘要

边界元法因其具有降维、网格划分简单、易于处理无限或半无限域问题等特点，在声场分析等一些特定问题中具有独特优势。然而，基于边界元方法求解声场模态是典型的非线性特征值问题，该问题一直是工程应用的一个难点。因此，发展针对边界元非线性特征值问题的数值算法是目前数值研究领域的一项重要工作。
　　本文基于Rayleigh-Ritz投影法研究了一种新的非线性特征值问题数值解法RSRR，该算法可以求解给定区域内所有的特征值和特征向量。更为重要的是，RSRR通过构造特征向量空间将原始非线性特征值问题进行压缩，从而能够稳定地求解大规模特征值问题。以该算法为核心，本文完成了四方面的创新工作。（1）本文基于采样法构造特征向量空间，即直接采用区域离散点处的方程组解向量构造特征向量空间。这种方法与同类相比，操作简单，稳定性和求解精度更好。（2）针对缩减后的非线性特征值问题，本文改进了Block SS算法，使其求解更加稳定和简便。（3）本文通过矩阵插值方法近似边界元系数矩阵，从而大大降低了计算量。（4）结合Pan等人提出的Additive预条件方法和Woodbury公式，对求解特征值过程中出现的奇异方程组进行预条件处理，使其在迭代求解中能够正常收敛。
　　本文将RSRR算法与边界元法结合求解声场非线性特征值问题，通过大量解析算例和工程声模态算例，表明该算法能够稳定高精度的求解大规模非线性特征值问题。RSRR算法的实现过程简单且易于并行，而且通用性强。

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