包含Smarandache函数及数列的恒等式和渐近公式

摘要

众所周知，关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关.因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作用！ 美籍罗马尼亚著名数论专家Florentin Smarandache教授曾提出了许多关于特殊序列、算术函数的问题与猜想.1993年，他在美国研究出版社出版了《只有问题，没有解答!》一书.该书中，F.Smaran(iache教授提出了105个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果；而另一位加拿大数论专家R.K.Guy所著的《初等数论中未解决的问题》一书中的诸多问题也引起了数论爱好者的研究兴趣. 本论文基于对以上所述问题的兴趣，利用初等方法及解析方法研究了一些新的Smarandache序列及函数的性质，从而给出了一些相关的恒等式和渐近公式以及方程的解数，具体来说，本文的主要内容包括以下几方面： 1.研究了Smarandache最小公倍数(LCM)序列和其他一些相关序列的性质，给出了包含这些序列的有趣的恒等式和较好的渐近公式，以及一些重要的极限定理. 2.Smarandache函数S(n)和幂函数SP(n)在初等数论的研究中具有很重要的地位.本文利用初等方法研究了关于Smarandache函数的几个方程的可解性，同时还提出了一个公开问题. 3.对于无穷级数的研究是很有意义的.本文主要利用初等方法来研究包含Smarandache函数en(n)的无穷级数和无理根Sieve序列的性质，并给出一些有趣的恒等式及渐近公式.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

§1.1研究背景与课题意义

§1.2主要成果和内容组织

第二章数论的历史与现状

§2.1数论的起源与发展

§2.2数论的迷人之处

§2.3数论研究的活力

§2.4数论的应用

第三章关于Smarandache 最小公倍数（LCM）序列问题

§3.1一些新的Smarandache数列

§3.1.1引言

§3.1.2两个引理

§3.1.3定理的证明

§3.1.4推论的证明

§3.2一个包含Smarandache最小公倍数(LCM)序列的新的极限定理

§3.2.1引言

§3.2.2定理的证明

§3.3一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题

§3.3.1引言

§3.3.2一个引理

§3.3.3定理的证明

§3.3.4推论的证明

第四章包含Smarandache函数的方程

§4.1一个包含Smarandache幂函数SP(n)的方程的可解性

§4.1.1引言

§4.1.2几个引理

§4.1.3定理的证明

§4.1.4一个公开问题

§4.2两个包含Smarandache函数的方程

§4.2.1引言

§4.2.2定理的证明

§4.3关于Smarandache函数S(n)的一个问题

§4.3.1引言

§4.3.2几个引理

§4.3.3定理的证明

第五章无穷级数及其性质

§5.1一个包含Smarandache函数ep(n)的恒等式

§5.1.1引言

§5.1.2定理的证明

§5.1.3推论的证明

§5.2关于无理根Sieve序列的性质

§5.2.1引言

§5.2.2一个引理

§5.2.3定理的证明

§5.2.4几点注释

第六章小结与展望

参考文献

致谢

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