超空间拓扑动力系统的拓扑熵及变参数动力系统的研究

摘要

本文研究了两个问题：(1)拓扑动力系统的拓扑熵ent*(f)与它所诱导的超空间拓扑动力系统的拓扑熵ent*((f))之间的关系，(2)变参数动力系统的动力学性质．本文的具体安排如下： 在第一章中，我们先简要的介绍了动力系统和变参数动力系统的概念及研究内容，然后介绍了刻画动力系统动力性状和复杂性的概念，阐述了拓扑熵、传递性、混沌理论的研究背景、发展现状及它在动力系统其它方面研究中的应用，最后介绍了超空间的研究背景和研究现状． 在第二章中，我们在文[1]定义的拓扑熵ent*(f)下，讨论了底空间拓扑动力系统的拓扑熵ent*(f)与它诱导的超空间拓扑动力系统的拓扑熵ent*((f))之间的关系．证明了底空间拓扑动力系统的拓扑熵ent*(f)不大于超空间拓扑动力系统的拓扑熵ent*((f))；还证明了在一定条件下，当底空间拓扑动力系统的拓扑熵大于零时，超空间拓扑动力系统的拓扑熵为无穷大．这两个结论分别与文[2]、[3]中作者在紧致度量空间中讨论的关于底空间拓扑动力系统的Adler拓扑熵与相应的超空间拓扑动力系统的Adler拓扑熵的大小关系一致．而文[1]中定义拓扑熵ent*(f)时，不要求拓扑空间的紧性和度量性，本文的这两个结果使得在非紧致且非度量空间中，通过底空间拓扑动力系统的复杂程度预知超空间拓扑动力系统的复杂程度成为可能．本章我们还得出了拓扑熵ent*(f)的一些新的性质：(1)在拓扑半共轭下，因子的拓扑熵不大于扩充的拓扑熵；(2)在一定条件下，k个拓扑动力系统作笛卡尔积所得拓扑动力系统的拓扑熵为原拓扑动力系统拓扑熵的k倍，即ent*(f×k)=k·ent*(f)；(3)ent*(f×k)=ent*(f*k)．拓扑熵ent*(f)的这些性质与紧致空间中Adler拓扑熵和度量空间中Bowen拓扑熵的性质一致． 在第三章中，我们在文[4,5]的基础上，提出了变参数动力系统拓扑强混合、拓扑弱混合以及变参数动力系统的生成子、扩张的概念；证明了变参数动力系统拓扑强混合蕴含拓扑弱混合，进而蕴含拓扑传递；证明了：如果(X，F)，(Y，G)为两个变参数动力系统，F与G拓扑半共轭，且F两两可交换，G两两可交换，它们均为同胚映射，那么F拓扑强混合(拓扑弱混合，拓扑传递)，则G也有同样的性质；本章还证明了变参数动力系统(X，F)拓扑强混合蕴含F在修改的意义下Devaney混沌；在此基础上得出了：如果变参数动力系统(X，F)与变参数动力系统(Y，G)拓扑半共轭，它们都两两可交换，并且它们均为同胚映射，那么F在修改的意义下Devaney混沌当且仅当G在修改的意义下Devaney混沌；得出了F有生成子当且仅当F有弱生成子；如果F是扩张的，则F有生成子．这些结论与文[6]中离散拓扑动力系统的结论一致，从而拓广了变参数动力系统的研究范围．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

§1.1 动力系统及变参数动力系统简介

§1.2 几个刻画动力系统动力性状和复杂性的概念

§1.2.1 拓扑传递与混沌

§1.2.2 拓扑熵

§1.3 超空间

§1.4 本文的主要研究内容

第二章超空间拓扑动力系统的拓扑熵问题

§2.1 引言

§2.2 预备知识

§2.3 结果和证明

§2.4 本章小结

第三章变参数离散拓扑动力系统

§3.1 引言

§3.2 基本概念和符号

§3.3 关于传递性及混合性的结果

§3.4 关于拓扑半共轭的结果

§3.5 关于修改意义下Devaney混沌及生成子的结果

§3.6 本章小结

论文总结与前景展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的学术成果

致 谢