关于整数幂模q剩余之差的高次均值问题

摘要

整数及其逆的分布问题一直受到众多数论学者的广泛关注，人们对此进行了深入研究，得到了丰富的成果.本文引入了不同整数幂模q剩余之差的分布问题，这是对整数及其逆的分布问题的一种推广.文章主要利用初等数论、解析数论中的一些经典的方法，并结合三角和的性质及两项指数和的估计，研究了整数幂模q剩余之差的高次均值问题，得到了好的渐近公式.具体研究结果如下:
　　令p为奇素数，α为正整数，q=pα，m1，m2为不相等的正整数常数，0＜δ，λ1，λ2≤1为实数，k为非负的任意整数.
　　1.令a为满足1≤a≤q，(a，q)=1的整数，则存在唯一的整数b满足1≤b≤q及其b≡am1(mod q)，记为(am1)q，即整数am1模q的最小正剩余.当q＞[1/δ]时，研究了整数幂模q剩余之差的高次均值分布，得到了渐近公式q∑'a=1|(am1)q-(am2)q|≤δq|(am1)q-(am2)q|k=2(1/k+1-δ/k+2)δk+1φ(q)qk+O(qk+1/2+ε)，其中∑'表示与q互素的整数之和，ε＞0为任意实数，O所包含的常数与δ，m1，m2，k有关;
　　2.当q＞max{[1/λ1]，[1/λ2]}时，研究了在不完整区间上Lehmer问题的推广，渐近公式如下q∑'a=1[λ1q]∑'b=1[λ2q]∑'c=1|b-c|kb≡am1(mod q)c≡am2(mod q)2(|)(b+c)=1/2(k+1)(k+2)(λk+21+λk+22-|λ1-λ2|k+2)φ(q)qk+O(qk+1/2+ε)，其中O所包含的常数与λ1，λ2，m1，m2，k有关.

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摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景与课题意义

§1．2 主要成果和内容安排

第二章 整数幂模q剩余之差的高次均值分布

§2．1 引言及主要结论

§2．2 指数和的估计及其应用

§2．3 定理2．1．1的证明

第三章 在不完整区间上Lehmer问题的推广

§3．1 引言及主要结论

§3．2 在不完整区间上整数幂模q剩余之差的均值

§3．3 定理3．1．1的证明

总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的科研成果

致谢