非线性偏微分方程的直线解法及反问题研究

摘要

在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用非线性偏微分方程（组）来描述，研究非线性偏微分方程（组）的数值解是解决上述问题的有力工具。然而求解非线性偏微分方程（组）的数值解及其它的解法研究作为非线性科学中的前沿课题和热点问题，极具挑战性。目前虽然已经提出并发展了许多求解非线性偏微分方程（组）数值解的方法，但由于求解非线性偏微分方程（组）没有也不可能有统一而普适的方法。因此继续寻找一些有效并且可行的方法解决各种工程实际问题依然是一项十分重要和极具价值的工作。本文将直线法应用于非线性偏微分方程（组）定解问题的求解中，得到了相应的误差分析，并进行了数值模拟。结果表明，该方法具有精度高、稳定性好的优点。
　　当非线性偏微分方程（组）中的算子、源项、初始条件、边界条件以及区域边界从已知变成未知，而原方程的精确解仍然未知，此时就构成了非线性偏微分方程（组）反问题。由于反问题具有不适定性与非线性性两大特点，使得它的理论与求解都比正问题困难的多，而且涉及面广。因此如何解决这些问题，已成为广大数学工作者，自然科学研究者及工程技术人员开拓的一个崭新的学科领域。
　　数学物理方程反问题的研究领域非常广阔，它不仅来源于各种实际应用背景，而且属于多学科理论的应用范畴，无论在理论研究与实际应用方面其意义都非常重要。本文主要研究一维非线性双曲型、抛物型偏微分方程以及偏微分方程组的理论、求解方法及应用。
　　本文利用最佳摄动量法对非线性偏微分方程（组）参数反演进行了研究，得出了此类反问题的数值解法。数值模拟结果表明，此方法对于求解非线性偏微分方程（组）参数反演问题是可行的也是有效的。但是最佳摄动量法主要取决于初始值的选取，本文将遗传算法融入到最佳摄动量法之中，即用遗传算法先得到一组初始值，将其作为最佳摄动量法的初始猜测，这样就得到了一种新的带有初始猜测的最佳摄动量法。本文算法取得了令人满意的效果在求解非线性偏微分方程（组）反问题时，它具有良好的稳定性，对于给予随机扰动后的数据进行的实验结果同样令人满意。本文算法大大降低了经典最佳摄动量法陷入局部极值的风险，盲目的对初始值进行猜测的问题也得以解决，减少了重复试验的次数，节省了反演时间。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 非线性偏微分方程的研究目的及意义

1．2 非线性偏微分方程的解法综述

1．3 本文的主要工作

2 本文基本理论

2．1．有限元法

2．1．1 有限元求解过程

2．2 直线解法

2．2．1 直线法的原理及相关概念

2．2．2 直线法求解正问题的步骤

3 正问题数值模拟

3．1 一维非线性抛物型偏微分方程

3．1．1 问题提出

3．2 一维非线性双曲型偏微分方程

3．2．1 问题提出

3．3 一维非线性偏微分方程组

3．3．1 问题提出

3．4 本章小结

4 最佳摄动量法

4．1 最佳摄动量法的一般过程

4．2 最佳摄动量法的主要特点

4．3 最佳摄动量法的求解过程

4．3．1 参数反演

4．4 本章小结

5 遗传算法在初始模型选取中的应用

5．1 问题的提出

5．2 遗传算法的理论与研究背景

5．3 遗传算法

5．3．1 算法基本思想

5．3．2 算法描述

5．3．3 遗传算法的基本特点

5．4 数值算例

5．5 本章小结

6．结论与展望

致谢

参考文献

附录