基于Lagrange插值的分数阶微分方程的数值方法研究

摘要

近年来,分数阶微分方程已被广泛地研究并应用于物理、力学、生物、医学等众多领域中并取得了丰富的研究成果。相比于整数阶微分方程,分数阶微分方程的解析解是难以获得的,因此寻求一种高效实用的分数阶微分方程的数值解法就变得很有必要了。本文基于Lagrange插值理论提出了两类分数阶微分方程初值问题的数值解法,具体工作如下:
　　(1)基于 Caputo分数阶导数和 Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数的性质,把分数阶微分方程等价地转化为 Volterra积分方程,用一次、二次、三次 Lagrange多项式对Volterra积分方程插值逼近,导出了一种显式和两种隐式的分数阶微分方程初值问题的数值算法,并给出了误差估计。
　　(2)显式算法简单易行,但精度不高,隐式算法精度高,但不易计算,利用预估校正思想,将(1)中构造的显式算法分别和两种隐式算法相结合,构造了两种分数阶微分方程初值问题的预估校正算法,并给出了误差估计。数值算例表明了显式算法和预估校正算法的有效性。
　　(3)对含一阶导数项和二阶导数项的分数阶微分方程初值问题,利用分部积分将其转化成积分方程的形式,然后分别用二次、三次Lagrange多项式对函数插值逼近。构造了显式算法、隐式算法,以及预估校正算法,并给出了误差估计。数值算例表明了这些算法的有效性。

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1 绪论

1.1研究背景及意义

1.2分数阶微分方程数值方法的研究进展

1.3 本文的主要工作

2基于Lagrange插值逼近的分数阶微分方程的数值方法

2.1分数阶微积分的定义及性质

2.2 分数阶微分方程的Volterra积分方程形式

2.3 基于一次Lagrange插值的显式算法

2.4 基于二次Lagrange插值的隐式算法

2.5 基于三次Lagrange插值的隐式算法

2.6 本章小结

3.分数阶微分方程的预估校正算法

3.1预估校正算法一

3.2预估校正算法二

3.3数值算例分析

3.4本章小结

4.含整数阶导数项的分数阶微分方程的数值方法

4.1显式算法一的建立

4.2显式算法二的建立

4.3隐式算法的建立

4.4预估校正算法的建立

4.5数值算例及分析

4.6 本章小结

5总结和展望

5.1 本文的主要结论

5.2展望

致谢

参考文献