基于小波基函数的微分求积法研究

摘要

微分求积法是求解微分方程的一种有效方法,它计算量小,精度高,已被广泛用于各个领域问题的求解。但是传统的微分求积法在有其特定的优点的同时,也具有不足之处,比如在求解奇异性的微分方程方面,微分求积法得到的结果不是特别理想。本文根据小波分解求精的过程,由小波函数来构造得到任意区间上的小波插值基函数,形成小波微分求积法(WDQM)。由于小波基函数对突变信号具有良好的自适应描述能力,所以,该方法能够解决一般DQ法所存在的一些局限性。本文的主要工作如下:
　　(1)利用小波逐层分解求精的方法将小波级数分解为任意分辨层上的函数值形式,然后利用小波函数来计算得到小波系数,从而构造得到任意区间上的小波插值基函数,并且以该小波插值基函数为微分求积法的插值基函数,形成求解一维微分方程边值问题的小波微分求积法。小波-DQ法不光具有计算量小精度高等优点,而且数值解有很好的收敛性,可以消除在边界附近产生的震荡现象。以一维对流占优方程边值问题以及一维热传导方程初边值问题为例表明了该方法的有效性。
　　(2)将一维小波微分求积法推广到了二维,形成了二维小波微分求积法。首先给出二维微分求积法的数学表达式,然后分别将x、y看做参数,得到y、x方向上的小波插值基函数,从而得到二维函数的小波插值基函数,并以它作为二维DQ法的插值基函数。最后以二维热传导方程以及非线性反应扩散方程为例表明了该方法的适用性。

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1 绪论

1.1 本文研究背景及意义

1.2 微分方程小波方法的研究进展

1.3 微分求积法的研究现状

1.4 本文的主要工作及结构安排

2 一维小波微分求积法

2.1 微分求积法的一般原理

2.2小波插值基函数的构造

2.3 一维小波微分求积法

2.4 数值算例及分析

2.5 本章小结

3 二维小波微分求积法

3.1 二维微分求积法的一般原理

3.2 二维小波微分求积法

3.3 数值算例及分析

3.4 本章小结

4 总结与展望

致谢

参考文献