人体心脏肺动脉瓣膜的数学模型与算法研究

摘要

人体心脏每天会输送超过7000升的血液到身体的其它部位，这种输送是由心脏瓣膜有规律地收缩和舒张造成的。在实际生活中，由于单个或者多个瓣膜的功能异常或者结构异常，心脏瓣膜可能会出现一系列病变，造成输送出现一定程度的问题。肺动脉瓣作为人体心脏瓣膜之一，我们有必要从应用数学角度对人体肺动脉瓣膜做更多的研究，这将有助于临床医学上诊断和治疗与肺动脉瓣相关的疾病，更为肺动脉瓣损伤修复以及人工合成或是瓣膜替换等医学手术提供重要的理论依据。 目前国内外众多学者均对肺动脉瓣膜进行了一定的研究并取得相应的研究成果，基于肺动脉瓣膜和主动脉瓣膜相似的事实，绝大部分的学者还是集中进行两个瓣膜的对比研究，仅有一部分学者进行纯粹的肺动脉瓣膜研究。到目前为止并未建立一个在考虑心脏瓣膜力学属性的情况下的数学模型，完成对肺动脉瓣膜在一个心脏周期内的完整刻画，这正是本课题的研究所在。本文的研究内容主要包括以下几个方面： (1)在现有研究的基础上，通过分析人体心脏肺动脉瓣膜的基本结构，确定肺动脉瓣膜的基本形状；基于肺动脉瓣的结构和生理特征，利用弹性壳体中的圆柱壳表征该瓣膜；结合其形状特点以及瓣膜的尺寸大小，拟合出瓣叶的参数方程。并对拟合结果使用其它数据进行对比验证，最终完成了人体心脏肺动脉瓣膜的几何再现。 (2)建立了基于弹性壳体理论的人体心脏肺动脉瓣膜的动力学模型。从Koiter的静力学模型出发，引入时间变量，用四阶发展偏微分方程刻画心脏瓣膜弹性动力学Koiter模型。针对所提出的心脏瓣膜弹性动力学模型，利用合适的有限元方法和Newmark法进行空间和时间离散，对于离散后的解的存在性、唯一性和收敛性进行分析论证。计算肺动脉瓣膜曲面上的度量张量的协变分支和逆变分支、曲率张量的协变分支和混合分支以及Christoffel记号，选择合适的肺动脉瓣膜几何参数、材料参数，对肺动脉瓣膜在一个心动周期内的受力情况进行分析，利用模型求解不同步长下肺动脉瓣膜中性面上各点处的位移，并对计算结果进行可视化，完成肺动脉瓣膜在一个心跳周期内的动态过程的功能模拟。这是本课题的重点。 (3)基于所提出的动力学Koiter模型，在特殊几何形状假设以及函数空间假设下，研究了椭圆膜壳模型，同样对空间和时间进行离散，得到空间一时间的全离散格式，证明离散格式下解的存在性、唯一性，并对全离散格式进行稳定性分析及误差估计；最后，以椭圆膜壳的典型代表椭球壳和球壳为例，利用该模型模拟出在一定时间内椭圆膜壳受力后的变形过程，并对不同步长下的位移变化结果进行可视化，此外计算椭球壳在不同时间步长和空间步长下的收敛阶和误差，再一次验证数值方案的稳定性和收敛性。

目录

1 绪论

1.1 研究背景

1.2 研究现状

1.3 主要研究内容

1.4 章节设计

2 预备知识

2.1 弹性微分几何

2.2 数值方法

2.2.1 有限单元法

2.2.1 Newmark算法

3 肺动脉瓣膜的几何重建

3.1 人体肺动脉瓣膜的基本结构

3.2 人体肺动脉瓣膜的形状

3.3 人体肺动脉瓣膜的参数设计

3.4 本章总结

4 肺动脉瓣膜的动力学模拟

4.1 时间依赖的弹性动力学模型

4.2 解析解的数值方法

4.2.1 空间半离散

4.2.2 时间全离散

4.3 肺动脉瓣膜的功能模拟

4.3.1 肺动脉瓣膜的模型参数

4.3.2 肺动脉瓣膜的受力分析

4.3.3 肺动脉瓣的力学行为

4.4 本章总结

5 椭圆膜壳模型与计算

5.1 时间依赖的椭圆膜壳模型

5.2 逼近解的数值方法

5.2.1 空间半离散

5.2.2 时间全离散

5.3 数值实验

5.3.1 椭球壳

5.3.2 球壳

5.4 本章总结

6 总结与展望

6.1 全文总结

6.2 展望

致谢

参考文献

附录1

攻读硕士学位期间主要研究成果