2D/3D分数阶扩散方程中的反问题

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摘 要

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Abstract

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第一章 绪 论

1.1 反问题与不适定问题

1.1.1 反问题

1.1.2 不适定问题

1.2 国内外研究现状

1.3 本文主要工作

第二章 预备知识

2.1 分数阶微积分定义及相关性质

2.1.1 Grünwald-Letnikov定义

2.1.2 Riemann-Liouville定义

2.1.3 Caputo定义

2.2 分数阶微积分的傅里叶变换与拉普拉斯变换

2.2.1 分数阶微积分的傅里叶变换

2.2.2 分数阶微积分的拉普拉斯变换

2.3 Mittag-Leffler函数

2.3.1 M-L函数的定义

2.3.2 广义M-L函数的拉普拉斯变换

2.4 正则化方法

2.4.1 正则化方法的基本思想

2.4.2 正则化解的构造和收敛性

2.4.3 其他正则化方法

第三章 几类时间分数阶反常扩散方程正问题的数值求解

3.1 一类带一阶物理/化学反应系数的时间分数阶反常扩散方程

3.1.1 隐式差分格式

3.1.2 差分格式的稳定性和收敛性

3.1.3 数值算例

3.2含两个时间分数阶的二维反常扩散方程

3.2.1 隐式差分格式

3.2.2 正问题的解析解

3.2.3 数值算例

3.3 三维时间分数阶反常扩散方程

3.3.1 隐式差分格式

3.3.2 数值算例

3.4 本章小结

第四章 反问题及其反演算法

4.1 反演算法

4.2 确定微分阶数的反问题与数值反演

4.3 确定一阶物理/化学反应系数的反问题与数值反演

4.3.1 一维时间分数阶反常扩散方程中确定一阶物理/化学反应系数的反问题与数值反演

4.3.2 一维两区模型中确定一阶物理/化学反应系数的反问题与数值反演

4.4 确定源项的反问题与数值反演

4.5 本章小结

第五章 总结与展望

5.1 总结

5.2 展望

参考文献

在读期间公开发表的论文