独立增量随机场的分形性质

摘要

本文主要研究几类随机过程的有关分形性质.具体内容如下:·研究了N指标d维广义Brownian Sheet的极集的性质,得到了其极集的必要条件与充分条件.同时通过一个特殊的Cantor型集的构造将维数与容度巧妙地结合起来,得到了广义Brownian Sheet极集的Hausdorff维数的下确界.其结论解决了Xiao提出的关于布朗单的极集的维数问题.此结果形式漂亮,对于布朗单也是新的.·讨论了N指标d维广义Brownian Sheet极函数的特征,得到了满足Lipschitz条件的连续函数类与广义Brownian Sheet的极函数类之间的关系,给出了广义BrownianSheet不动点的Hausdorff维数和Kolmogorov下熵指数的一个不等式.同时解决了LeGall提出的关于布朗运动非极、连续的Holder函数存在性问题.·讨论了N指标d维广义Brownian Sheet象集的有限项代数和的Hausdorff维数、Packing维数、Lebesgue测度及内点的存在性.解决了Mountford提出的关于布朗单象集的内点存在性问题.·研究了N指标d维广义Brownian Sheet的容度问题.利用鞅的方法讨论了广义布朗单的碰撞概率与容度之间的关系,给出了其碰撞概率的容度估计.同时也讨论了广义布朗单的象集的Lebesgue测度与Bessel-Riesz容度之间的关系,给出了其象集的Bessel-Riesz容度估计.·讨论了N指标d维广义α-stable过程的自相交局部时的存在性和联合连续性问题.给出了其自相交局部时平方可积和联合连续的一个充分条件,并通过对广义α-stable过程自相交局部时的Holder条件的讨论,证明了其重点的存在性,得到了广义α-stable过程多重时的Hausdorff维数及测度的下界.·利用N指标d维广义α-stable过程在区域上增量最大值的尾概率分布和逗留时分布,得到了未必具有随机一致Holder条件的广义α-stable过程象集、图集的一致Hausdorff维数和一致Packing维数的上、下界.·研究了某些具有强局部不确定性的Gaussian随机场的Hausdorff测度和Hausdorff型测度.给出了其图集的确切Hausdorff测度,象集和图集的确切Hausdorff型测度及其估计.·研究了分式布朗运动的Packing型测度问题.给出了Packing型测度的定义及性质,得到了分式Brownian运动的象集和图集的Packing型测度的上、下界.同时也建立了分式Brownian运动逗留时的liminf型重对数律.·研究了非退化扩散过程图集、水平集和极集的Hausdorff维数.给出了比文献[147]更一般的极性的充分条件,并通过Cantor型集的构造法,得到了既无高斯性,也无平稳和独立增量性的非退化扩散过程极集的Hausdorff维数的下确界.同时采用Testard的方法给出了紧集上非退化扩散过程水平集的Hausdorff维数.

目录

文摘

英文文摘

创新性声明和关于论文使用授权的说明

符号说明

第一章绪论与预备知识

§1.1随机过程样本轨道的研究现状

§1.2测度与维数

§1.3不对称维数与局部时

§1.4内容安排

第二章广义Brownian Sheet的极集与极函数

§2.1引言

§2.2极集的必要条件

§2.3极集的充分条件

§2.4极集的Hausdorff维数的下确界

§2.5极函数的特征

第三章广义BrownianSheet的容度

§3.1引言

§3.2多参数鞅的性质

§3.3一些基本的估计

§3.4碰撞概率的容度

§3.5 Bessel-Riesz容度的下界

§3.6 Bessel-Riesz容度的上界

第四章广义α-stable过程的象集、图集及其代数和

§4.1引言

§4.2象集和图集的一致维数的上界

§4.3象集的一致维数的下界

§4.4象集代数和的维数

§4.5象集代数和的局部时、Lebesgue测度及内点的存在性

第五章广义α-stable过程的自相交局部时

§5.1引言

§5.2自相交局部时的存在性

§5.3自相交局部时的连续性

§5.4自相交局部时增量的Holder律

§5.5多重时的Hausdorff维数及测度

第六章高斯随机场的Hausdorff型测度

§6.1引言

§6.2图集的确切Hausdorff测度

§6.3一些基本估计

§6.4象集和图集的Hausdorff型测度

第七章分式Brownian运动的Packing型测度

§7.1引言

§7.2 Packing型测度的定义及性质

§7.3逗留时的极限定理

§7.4象集和图集的Packing型测度

第八章非退化扩散过程的图集、水平集和极集

§8.1引言

§8.2图集的Hausdorff维数

§8.3水平集的Hausdorff维数

§8.4极集的充分条件及其Hausdorff维数的下确界

结束语

致谢

参考文献

在读博士期间发表的或待发表的论文

参加、主持的科研项目

获奖情况