马氏调节反射广义Ornstein-Uhlenbeck过程的平稳分布

摘要

反射马氏调节过程已经被广泛应用到排队网络、运筹与管理、金融风险计算与受控金融市场建模等实际问题中.目前大部分文献及研究成果集中在反射马氏调节布朗运动的研究上,然而作为布朗运动的拓展,Ornstein-Uhlenbeck过程是流体排队和利率期限结构建模中最重要的模型之一.因此研究反射马氏调节Ornstein-Uhlenbeck过程有着重要的意义.
　　本文主要讨论带双面(即正负)跳的马氏调节双边反射的Ornstein-Uhlenbeck过程,其中跳过程为一复合泊松过程,跳大小的分布被假设为服从一类双指数分布.进一步,模型的漂移、波动率以及跳参数均假设由一连续时间、有限状态齐次马尔可夫链调节.
　　本文的主要贡献是:证明该过程的平稳分布是一类交互积分-微分方程的解.进一步证明当马尔可夫链有两个状态时这类交互积分-微分方程的解的存在性和唯一性.最后我们利用有限差分方法计算了该交互积分-微分方程的解,并且讨论该过程平稳分布关于模型参数的敏感性.

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第一章 绪论

1.1 研究背景

1.2 本文的主要工作及内容安排

第二章 基础知识

2.1 概率空间

2.2 几类经典的随机过程

2.3 鞅过程

2.4 随机积分与随机积分、微分方程

2.5 Ito公式与无穷小生成元

第三章 带跳的马氏调节反射Ornstein-Uhlenbeck过程

3.1 O-U过程和广义O-U过程

3.2 反射过程

3.3 马氏调节反射的广义O-U过程

3.4 无穷小生成元

第四章 双面跳马氏调节反射Ornstein-Uhlenbeck过程的平稳分布

4.1 双面跳过程

4.2 平稳分布

4.3 两个状态下平稳分布的存在唯一性

第五章 数值算例

5.1 数值差分逼近

5.2 平稳分布对模型参数的敏感性

5.3 总结与展望

致谢

参考文献

在读期间的研究成果