新的四元序列族及其在压缩传感中的应用

摘要

伪随机序列族因为其良好的自相关性、互相关性、长周期、大线性复杂度、平衡性、易于实现等特点被广泛应用于雷达、声呐、通信系统、密码系统等领域。从便于硬件实现的角度，二元序列和四元序列成为应用于实际中的首选序列。二元序列研究比较早，其中最著名的是m序列和Gold序列。m序列在通信领域有着广泛的应用。Gold序列是1967年R.Gold在m序列的基础上提出的一种特性较好的伪随机序列。基于伽罗华环的四元序列的研究比较晚，但是人们发现对于给定的序列族大小M和序列族周期L，根据Welch和Sidelnikov界，设计出最大互相关值比最优二元序列族的最大互相关值更小的四元序列族是可以的，其最大互相关函数值是最优二元序列的1/2。目前已构造出的具有良好特性的四元序列族不是很多，因此构造出具有良好特性的四元伪随机序列族具有重要意义。
　　为了不失真地恢复模拟信号，奈奎斯特采样定理要求采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍，这极大地限制了信息的处理能力。压缩传感理论的出现打破了这一传统定理使得高分辨率信号的采集成为可能，在很多领域表现了显著优势。测量矩阵的设计是压缩传感理论的一个热点问题，它关系着信号能否实现压缩和信号能否精确重构。目前使用最广泛的测量矩阵是随机投影矩阵或者服从独立同分布的矩阵，例如高斯随机矩阵、贝努利矩阵。因为这两种矩阵与其他所有的稀疏变换基不相干，它使我们在没有先验知识的条件下无损伤的感知来自原始域的信号，除此之外，我们可以在满足一定测量值的要求下实现原始信号的精确重构。但是在实际应用中构造出硬件容易实现的测量矩阵才是压缩传感理论应用于实际的关键。本文研究的主要成果：
　　1、构造出具有良好特性的四元序列。Tang提出了一种将周期为奇数的序列族周期扩展2倍的方法，但这种方法不适用于周期为偶数的序列族。新方法是将周期为偶数的序列族周期扩展2倍。将新方法应用于序列族B和序列族U1得到两类新的周期为4(2n-1)（n为整数）的四元序列族。分析表明，新的序列族有良好的低相关性和较大的线性复杂度。
　　2、构造出硬件容易实现的测量矩阵。新的序列族有良好的平衡性与低相关性。文中首先通过理论分析说明了由新序列族构造的矩阵与某些稀疏变换基不相干，可用于压缩传感中的测量矩阵；其次通过MATLAB仿真实验验证了新矩阵用于测量矩阵时，能够实现信号的完美重构，同时给出了新测量矩阵和高斯随机矩阵的对比结果。

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第一章 绪论

1.1研究背景与意义

1.2四元序列的发展历史与研究现状

1.3 测量矩阵

1.4本文主要研究内容及安排

第二章 基础知识

2.1 群、环、域

2.2 迹

2.3 伽罗华环的基本概念及其性质

2.4 剩余类环上的线性递归序列

2.5伪随机序列的测评指标

2.6 本章小结

第三章 常见的四元序列族及其特性分析

3.1周期为2n-1的四元序列族

3.2 周期为2(2n-1)的四元序列族

3.3周期为4(2n-1)的四元序列族

3.4 本章小结

第四章 扩展四元序列族的周期的方法

4.1 格雷映射

4.2 新方法

4.3 新序列族K 、L

4.4 新序列族K 、L的相关性分布

4.5新序列相关性分布的证明

4.6新序列的线性复杂度

4.7本章小结

第五章 测量矩阵的性能要求及其构造方法

5.1 压缩传感理论概述

5.2测量矩阵的性能要求

5.3 几种常用的测量矩阵及其构造

5.4 本章小结

第六章 四元序列构造的测量矩阵

6.1 如何证明测量矩阵满足条件

6.2 四元序列构造测量矩阵

6.3 仿真结果

6.4 本章小结

第七章 结论与展望

7.1 研究结论

7.2研究展望

参考文献

致谢

作者简介

1.基本情况

2.教育背景

3.攻读硕士学位期间的研究成果