非凸压缩感知恢复算法及其在宽带频谱感知中的应用研究

摘要

压缩感知是近10年来信号处理领域非常重要的理论成果之一，自2006年正式提出后，在很短时间内吸引了大量研究者的关注，至今在权威期刊仍然不断涌现出新的理论成果和实际应用范例，研究前景广阔，应用潜力巨大。作为压缩感知三大构成部分之一的恢复算法，一直是该领域的热点和难点，虽然已有很多算法被提出，但如何以尽量少的运算量获得更为稀疏和稳健的解，仍然是一个值得探索的问题。
　　本文选择非凸压缩感知作为研究对象。所谓非凸压缩感知，指的是其优化目标函数呈现非凸特性，比凸松弛目标函数（如L1范数）更加接近L0范数，因而在相同条件下，达到全局最优时，可以得到更稀疏的解，同时，具备更好的抗噪性能。但是非凸压缩感知在获得恢复增益的同时，存在提前收敛的风险，如何设计更好的逼近算法，尽量避免局部最优解的出现，是本文研究的出发点之一。本文对几种典型的非凸压缩感知算法进行了深入分析，并提出了新的恢复算法，使用数值仿真证实了本文工作的正确性与有效性。本文的重要贡献体现在以下几点。
　　(1)为揭示稀疏贝叶斯学习的本质，探究其优异恢复能力的来源，证明了EMSBL（使用EM算法的稀疏贝叶斯学习）中第一类与第二类最大似然之间的本质差异，并揭示了FOCUSS，IRL1与EMSBL之间的内在关系。使用数值仿真展示了EMSBL的局部解特性，并与L0范数的局部解进行比较，证实了前者的局部解数目少于后者，因而具有更好的恢复效果，在均方误差和恢复成功率方面优于现有的其他算法。
　　(2)为了使用成熟算法的简单组合获得优异恢复能力，提出了支撑驱动的恢复算法框架SD_IRLp，该框架将恢复过程分为2步:第1步，假设系统中不存在任何噪声，求取一个相对“稠密”的解，并提取其中满足某个阈值条件的支撑;第2步，将第1步所提取的支撑作为先验信息带入某种算法，迭代至收敛，获得稳定解。通过与现有的7种有竞争力的算法比较，基于TBP+FOCUSS的恢复算法在运算效率和恢复性能上达到了很好的折中。所提出的框架具有很好的扩展性与适应性，可基于多种算法组合实现。
　　(3)为克服传统SL0算法恢复性能上的弱点，设计了一个L0范数迭代重加权逼近框架，以平滑可微的代理函数为核心，通过求解目标函数的牛顿方向，并将其视作CCCP，获得了两种恢复算法，所有见诸文献的代理函数均可带入本文的算法进行稀疏恢复。数值仿真证实，本文所设计的一种新型代理函数在应用于所提出算法时，其性能明显优于SL0，较ISL0也有相当的优势。
　　(4)为了更科学有效地使用各类先验信息，对先验信息的类型与使用方式进行了深入分析，研究了3种先验信息的处理方式:第1种，以概率方式引入，控制迭代权值的处理方式;第2种，在稀疏干扰消除的基础上，研究了使用正交投影思想消除已有支撑对后续恢复的影响，形成一种新的算法OP_FOCUSS;第3种，推广了正交投影的思想，在压缩域消除已知幅值和支撑的分量后，再次进行恢复，据此提出无需先验信息辅助的PC FOCUSS算法，使恢复性能获得明显提升。
　　(5)为提升认知无线电系统用户切换效率，提出一种新的分布式的宽带频谱感知系统，该系统在采样前端使用了宽带调制转换MWC，并将来自于相邻感知节点的信息作为先验，最后基于所提出的先验信息辅助MSBL（IA-MSBL）算法予以恢复。数值仿真证实，所提出的频谱感知系统可以有效抵抗干扰与衰落，提高频谱感知精度。
　　最后，在总结全文的基础上，对压缩感知的理论研究与应用前景进行了展望，并给出了一些有待深入研究的开放性问题。

目录

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摘要

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表格索引

符号对照表

缩略语对照表

第一章 概逊

1．1 选题背景和意义

1．1．1 压缩感知基本原理

1．1．2 压缩感知的应用

1．2 非凸压缩感知的研究内容

1．2．1 目标函数设计

1．2．2 基于RIP的非凸压缩感知分析

1．2．3 非凸压缩感知的典型恢复算法

1．2．4 存在的问题

1．3 本文的主要工作与章节安排

第二章 基于稀疏贝叶斯学习的恢复算法

2．1 稀疏贝叶斯学习与相关向量机

2．2 稀疏贝叶斯学习用于压缩感知信号恢复

2．2．1 基于贝叶斯视角的正则化分析

2．2．2 ARD先验的图模型

2．3 稀疏贝叶斯学习特征分析

2．3．1 两类最大似然之间的关系

2．3．2 SBL与其他算法的关系

2．3．3 基于变分的分析

2．4 数值实验

2．4．1 局部解特性实验

2．4．2 恢复性能分析

2．5 本章小结

第三章 支撑驱动的非凸恢复算法

3．1 阈值基追踪(Thresholded Basis Pursuit，TBP)

3．2 IRLp(Iteratively Reweighted Lp Minimization)算法

3．3 支撑驱动的恢复算法SD_IRLp

3．3．1 算法描述

3．3．2 算法分析

3．4 数值仿真

3．4．1 使用同伦算法说明BP的支撑检测能力

3．4．2 噪声背景下SD_IRLp算法的恢复性能

3．4．3 SD_IPLp恢复过程

3．4．4 参数p对SD_IRLp算法的影响

3．4．5 SD_IRLp的推广

3．5 本章小结

第四章 L0范数的平滑逼近

4．1 L0范数的平滑逼近

4．1．1 SL0与近似p范数

4．1．2 FOCUSS

4．2 基于参数调整策略的改进恢复算法

4．2．1 基于代理函数的目标函数分析

4．2．2 基于先验概率密度的优化目标函数分析

4．2．3 参数调整策略

4．3 基于牛顿方向的迭代重加权平滑L0算法(IRSL0)

4．3．1 算法框架推导

4．3．2 IRSL0_1

4．3．3 IRSL0_2

4．3．4 算法分析

4．4 数值仿真

4．4．1 平滑逼近效果度量

4．4．2 使用不同代理函数的IRSL0算法

4．4．3 稀疏度的影响

4．4．4 运算时间

4．5 本章小结

第五章 先验信息辅助的恢复算法

5．1 先验信息的类型与使用

5．1．1 支撑与幅值已知情况

5．1．2 仅部分支撑确知

5．2 先验信息辅助的FOCUSS算法

5．3 基于正交投影的压缩域信号处理

5．3．1 OMP算法的分析

5．3．2 模拟信号中的稀疏错误纠正

5．3．3 正交投影空间构造及其应用

5．3．4 基于正交投影的迭代运算框架

5．4 融合算法及其拓展

5．4．1 相关研究

5．4．2 渐次删除FOCUSS算法

5．5 数值仿真

5．5．1 先验信息辅助的FOCUSS算法仿真

5．5．2 所提出的新算法仿真

5．6 本章小结

第六章 非凸恢复算法在宽带频谱感知中的应用

6．1 频谱感知问题

6．1．1 窄带频谱感知

6．1．2 宽带频谱感知

6．2 使用MWC的次奈奎斯特采样技术

6．2．1 调制宽带转换MWC

6．2．2 MWC恢复算法

6．3 宽带压缩频谱感知方案

6．3．1 使用分布式终端的宽带压缩频谱感知模型

6．3．2 使用先验信息的分布式宽带压缩频谱感知模型

6．4 先验信息辅助的多重稀疏贝叶斯学习IA-MSBL

6．4．1 MSBL

6．4．2 先验信息辅助的IA-MSBL

6．5 数值仿真

6．5．1 MWC的恢复效果

6．5．2 次奈奎斯特采样的频谱感知算法

6．5．3 衰落信道下IA-MSBL的恢复性能对照

6．5．4 节点数目对频谱感知效果的影响

6．6 本章小结

第七章 总结与展望

7．1 全文总结

7．2 展望与开放性问题

参考文献

致谢

作者简介

攻读博士学位期间的研究成果