一类自催化反应扩散模型的分支分析

摘要

自催化反应扩散在生化反应领域是一种普遍现象，其反应机制复杂多变。随着数理学科的发展，人们开始利用微分方程（组）建立形形色色的数学模型来刻画反应扩散过程。通过对反应扩散模型进行理论分析、数值计算及计算机模拟，更清楚地认识和揭示反应物的定态共存行为和振荡行为，能够对生命现象中化学过程的认知和相关应用领域的研究产生重要意义。 本文主要利用非线性分析及偏微分方程中心流形定理，规范型理论，Hop分支，局部稳态分支以及全局稳态分支理论，并结合最大值原理研究一类带有高阶项的自催化反应扩散模型在齐次Neumann边界条件下的动力学行为。 首先，利用最大值原理、Harnck不等式、Holder不等式和Poincare不等式，给出自催化模型正解的先验估计及相关性质。 其次，利用中心流形定理和规范型理论，以b为分支参数，分别研究了自催化模型对应常微分系统和扩散系统Hopf分支的存在性和稳定性。结果表明参数b的不同取值仅决定常微分系统 Hopf 分支的方向和稳定性，扩散系统的Hopf分支是无条件稳定。并且利用Matlab软件进行数值模拟验证补充所得结论。 最后，以扩散系数d1为分支参数，利用Crandall–Rabinowitz局部分支理论得到单重特征值处的局部稳态分支。对于二重特征值的情况，借助空间分解技术和隐函数定理，证明了稳态分支的存在性和稳定性。同时利用全局稳态分支理论，将局部稳态分支的部分结论推广到全局稳态分支。最后通过计算给出局部稳态分支的方向和稳定性。 物理，化学，生物等许多领域都涉及自催化反应过程，而自催化模型是对此催化反应过程的数学描述，通过对自催化模型的理论分析可以科学的人为的干预自催化反应过程，从而使反应过程朝着最有利的方向进行，对资源利用，生产效率，生态保护都有巨大的价值。

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