桥梁结构分析的广义变分原理—Daubechies条件小波法研究

摘要

小波理论是20世纪80年代出现的一个新兴数学分支，是近年来在工具及方法上的重大突破，它已被广泛地应用在科学技术和工程计算等各个领域。其中，以Daubechies小波使用最广，影响最为深远，在解决诸如应力大梯度等奇异问题中，较其它小波函数有明显的优势。基于Daubechies小波的小波Ritz法、小波Galerkin法以及小波有限元法近年来一直受到国内外学者的高度重视。但直到目前为止，小波理论在结构工程中的应用还很不完善，尤其是Daubechies小波在诸如联系系数的计算精度不高、位移转换矩阵奇异、高阶消失矩基函数无法使用以及高精度小尺度函数空间难以应用等方面遇到很大困难。因此，如何应用小波理论，特别是Daubechies小波进行结构工程计算，提高计算精度，克服上述缺陷，发挥其独特的优势，具有重要的理论意义和显著的实用价值。 本文在系统研究小波数值计算方法及已有小波有限元的基础上，以Daubechies小波为切入点，以桥梁结构工程计算为主要应用方向，以传统Ritz法和Galerkin法为主要手段，将小波分析的多分辨思想与条件变分原理相结合，成功构造出可直接用于工程结构分析的全求解域条件小波Ritz法和条件小波Galerkin法，并进一步构造出基于条件变分和二类变量广义变分的单元刚度矩阵的条件小波有限元法。 本论文首先简要介绍了小波理论的发展现状及其在数值计算领域的应用情况，并系统介绍了小波分析的基础理论及Daubechies小波的数学特性，推导了Daubechies小波尺度函数、小波函数及其相关导数、积分、内积和现有联系系数的计算过程，阐明了现有联系系数计算方法中存在的问题，提出了提高联系系数计算精度的有效方法。 现有的Daubechies小波有限元法中，为方便边界条件的引入，均在小波待定系数与单元内部节点位置之间设置了位移转换矩阵，从而将小波有限元问题转化为常规有限元问题，方便了小波单元的使用。但也正是由于位移转换矩阵的存在，使得Daubechies小波单元难以实现高精度计算，在结构工程计算方面的应用受到限制。本文在分析传统Daubechies小波有限元法所存在问题的基础上，结合传统Ritz法、Galerkin法和广义变分原理，首次提出了条件小波Ritz法和条件小波Galerkin法，并构造出基于条件变分和二类变量广义变分的单元刚度矩阵的条件小波有限元法和条件小波混合有限元法，构建出条件小波单元求解矩阵，给出条件小波总体刚度求解矩阵的组装方法。从而避免了由于转换矩阵奇异而造成精度下降且计算结果不易收敛的问题，提升了小波Ritz法和小波Galerkin法的求解精度，使小波分析的“显微”特性得以充分发挥，并为应力大梯度问题和工程奇异问题的有效求解提供了强有力的计算手段。同时，编制典型算例，从各个方面对条件小波分析方法在计算精度、稳定性、求解速度以及在处理应力大梯度等奇异问题上的有效性进行全面测试。 桥梁桩基础是桥梁工程中典型构件，其内力计算的准确与否将直接关系到整个桥梁结构的安全。本文针对桥梁桩基础计算模型的特点，首次提出并推导了一类可用于桩基础计算的联系系数，同时首次将二类变量的混合能量原理引入Daubechies小波小波有限元法中，以进一步提高结构内力的求解精度。最后，利用上述结果，对桥梁桩基础的典型模型进行了计算。 本文还编制了大量的数值计算子程序和计算例程，几乎囊括了Daubechies小波有关结构工程数值计算的所有方面，这些程序的编制，不仅验证了本文的相关结论，同时，也为后续进一步拓展Daubechies小波在结构工程数值计算领域的应用空间打下坚实的基础。

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

1.1小波的起源及发展简史

1.1.1从Fourier级数到Haar小波

1.1.2从Fourier变换到短时Fourier变换(STFT)

1.1.3从短时Fourier变换（STFT）到小波变换

1.2小波理论的发展现状及应用前景

1.2.1小波理论的发展现状

1.2.2小波理论的应用前景

1.2.3小波理论现有主要应用领域

1.3小波分析在数值计算方面的应用

1.3.1小波伽辽金法与小波配置法

1.3.2小波有限元法

1.4小波有限元法目前存在的问题

1.5本论文的主要工作和研究内容

第二章小波分析基础理论

2.1小波变换与小波级数

2.1.1小波与小波序列

2.1.2常见小波函数

2.1.3小波变换

2.1.4小波时频分析

2.1.5小波级数

2.1.6小结

2.2一维正交多分辨分析

2.2.1定义

2.2.2尺度函数的正交化

2.2.3小波空间

2.2.4正交小波基

2.2.5 小结

2.3一维正交小波的分解与重构

2.3.1小波分解算法

2.3.2小波重构算法

2.4一维双正交多分辨分析

2.4.1定义

2.4.2双正交小波的分解与重构

2.5尺度函数正交性条件的Fourier形式

2.6紧支撑正交小波的构造

2.6.1构造紧支撑正交小波的充分条件

2.6.2 Daubechies紧支撑正交小波

第三章Daubechies小波与数值计算

3.1 Daubechies小波尺度函数与小波函数的计算

3.2 Daubechies小波尺度函数与小波函数D阶导数的计算

3.2.1 Daubechies小波d阶导数的计算

3.2.2 Daubechies小波d阶导数的实际应用

3.3 Daubechies小波尺度函数积分的计算

3.4 Daubechies小波联系系数的计算

3.4.1联系系数研究综述

3.4.2刚度矩阵联系系数的计算

3.4.3载荷列阵联系系数计算

3.5 Daubechies小波联系系数计算中存在的问题与解决方案

3.5.1 Daubechies小波联系系数计算中存在的问题

3.5.2解决方案

3.6数值计算的程序编制

3.6.1 MATLAB简介

3.6.2小波数值计算程序编制

3.7小结

第四章加权余量法与变分原理

4.1微分方程的等效积分形式和加权余量法

4.1.1微分方程的等效积分形式

4.1.2等效积分的“弱”形式

4.1.3基于等效积分形式的近似方法—加权余量法

4.2变分原理和Ritz方法

4.2.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立

4.2.2Ritz方法

4.3弹性力学的基本方程和虚功原理

4.3.1弹性力学的基本方程

4.3.2平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式—虚功原理

4.4弹性力学的变分原理

4.4.1自然变分原理

4.4.2广义变分原理

4.4.3胡海昌-鹫津久变分原理(H-W变分原理)

4.4.4Hellinger-Reissner变分原理(H-R变分原理)

4.5小结

第五章Daubechies条件小波在桥梁基本构件数值计算中的应用

5.1受拉(压)弹性杆

5.1.1基本微分方程与能量方程

5.1.2传统小波Rayleigh-Ritz法

5.1.3基于广义变分原理的条件小波Ritz法

5.1.4传统小波Galerkin法

5.1.5基于广义变分原理的条件小波Galerkin法

5.1.6条件小波法计算算例(包括应力大梯度问题)

5.1.7条件小波有限元法

5.2平面弯曲的弹性梁

5.2.1基本微分方程与能量方程

5.2.2传统小波Rayleigh-Ritz法

5.2.3基于广义变分原理的条件小波Ritz法

5.2.4传统小波Galerkin法

5.2.5基于广义变分原理的条件小波Galerkin法

5.2.6条件小波有限元法

5.2.7条件小波方法计算算例

5.3小结

第六章Daubechies条件小波在桥梁桩基础数值计算中的应用

6.1弹性地基梁

6.1.1基本微分方程与能量方程

6.1.2条件小波分析方法

6.1.3条件小波计算算例

6.2条件小波混合有限元法在梁问题中的应用

6.2.1梁的混合能量原理及求解矩阵

6.2.2条件小波混合有限元法

6.2.3条件小波混合有限元法算例

6.3桥梁桩基础

6.3.1基本微分方程与能量方程

6.3.2桥梁桩基计算中新型联系系数的构造与求解

6.3.3条件小波分析方法

6.3.4桥梁桩基础计算算例

6.4小结

结论与建议

1主要工作与结论

2存在问题与进一步工作的建议

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果

致谢