非线性弹性杆动力学方程解的存在性和唯一性研究

摘要

非线性方程解的存在性和唯一性问题的研究是非线性动力学的主要研究内容之一。由于非线性的多样性导致了非线性方程形式的复杂性，目前对非线性方程的求解虽有一些适用面较广的方法，但并不象线性方程那样有一般方法可循，大多数非线性方程不可能或很难求出其解析解，因此，必须在不具体求出方程解析解的情况下，利用数值求解方法或根据方程本身的特点来判断非线性方程解的性质。然而，在非线性方程的数值求解过程中，人们往往不考虑方程的解是否存在和唯一，通常取一个或几个模态来研究方程解的性质，这样并不能保证从无穷维空间到有限维子空间约化的合理性，甚至可能会导致错误的结论，所以研究非线性方程解的存在性和唯一性是保证数值求解合理性的前提和理论基础。为此，本文以Sobolev空间为工具，利用Galerkin法和局部延拓法对非线性弹性杆动力学方程解的存在性和唯一性以及与解相关的问题进行了研究，本文的主要工作如下： 1.对国内外有关非线性微分方程解的存在性和唯一性的研究方法和研究现状进行了综述。 2.在一定的边界条件和初始条件下，利用Galerkin法和局部延拓法，证明了一类非自治拟线性梁运动方程整体弱解的存在性以及弱解对初始条件连续的依赖性。说明了如何根据不同的边界条件选取Sobolev空间的基函数。证明了强解的存在性、唯一性以及古典解的存在性，给出了古典解存在的必要条件。 由于本文中所讨论的方程比相关文献中的方程更具有一般性，因此相关文献中的结果是本文所得结果的特殊情况。 3.在一定的边界条件和初始条件下，利用Galerkin法和局部延拓法，在Sobolev空间中，首次证明了三次物理非线性杆常系数动力学方程弱解的存在性。 4.在齐次初始条件和一定边界条件下，利用Galerkin法，以Sobolev空间为工具，首次证明了三次物理非线性杆非自治动力学方程弱解的存在性。 5.根据三次非线性本构方程中参数的不同变化，讨论了本构关系曲线的变化情况，绘制了本构曲线。对指数速度拉伸下的物理非线性均匀直杆，在相同的参数下，利用Matlab软件分别绘制了近似解取一个模态和两个模态时模态幅值的时程曲线以及杆在四分之三位置处的位移曲线。根据对时程曲线的分析，得出了随所取模态数增多，各个模态幅值逐渐变小。在本例中选取一个或两个模态作为原问题的近似解时，对杆四分之三位置处不同时刻的位移进行了比较，两个位移近似值之间的相对误差小于百分之一。由此可见，在解存在的情况下，本例中近似解取一项时精度已经很高了。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

第一章绪论

1.1引言

1.2非线性微分方程解的研究及现状

1.3研究微分方程解的存在性和唯一性的意义

1.4本文的主要研究工作

第二章预备知识

2.1古典函数和古典解的局限性

2.2广义函数空间

2.2.1基本函数空间

2.2.2广义函数的基本概念

2.2.3 Sobolev空间及常用不等式

2.3广义解的基本概念

2.3.1 δ函数

2.3.2广义解

2.4 Galerkin法

2.4.1有限维逼近的思想

2.4.2 Galerkin逼近理论

2.4.3解的正则性理论

第三章一类拟线性梁运动方程解的存在性

3.1弱解的整体存在性

3.2弱解对初值连续的依赖性

3.3弱解存在性的一个注记

3.4弱解的正则性

3.4.1强解的存在性

3.4.2强解的唯一性

3.4.3古典解的存在性

3.4.4古典解存在的必要条件

第四章三次物理非线性杆动力学方程解的存在性

4.1三次非线性本构关系曲线

4.2常系数方程弱解的存在性

4.3非自治方程弱解的存在性

4.4算例

第五章全文总结

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的论文

独创性说明