弹性杆波导中几类非线性演化方程及其孤波解和冲击波解

摘要

二十世纪六十年代，自然科学的许多科学分支几乎不约而同地出现了非线性问题的研究热潮，诸方面的研究汇成了非线性的洪流，孤子、湍流、混沌、分形及复杂系统等新的物理现象被揭示，大大扩展了人们的视野，并导致了自然科学认识论和发展观的一场大革命。非线性科学已成为近代科学发展的一个重要标志，它是自然科学各科学分支共同关心的真正的基础性研究。非线性科学涉及到自然界诸多复杂现象，具有广阔应用前景。特别是非线性动力学和非线性波动的研究对于解决物理学、化学、生物学和地球物理学中遇到的复杂现象和问题有着极其重要的意义。 非线性科学发展中一个重要成就就是孤立子理论的建立。在许多非线性物理领域，已经发现一大批非线性演化方程具有孤立子解。这些方程的共同特征是具有无穷个守恒律、可用散射反演法解析求解、存在B(a)cklund变换、完全可积分等。孤立子典型的特征是在其传播过程中伴随有能量集聚，且孤立子间相互作用时表现出犹如粒子弹性碰撞一样的行为。这些特性已在流体力学、等离子体、光纤通讯等技术领域获得广泛应用。 固体力学在线性波的研究方面曾取得过辉煌的成就，为推动物理学中波动理论的发展做出过巨大贡献。近年来固体结构中非线性波的研究已开始受到关注。本文在综述了其它非线性物理领域孤立子理论的研究基础上，以弹性细杆波导为对象，考虑了固体结构中常出现的非线性源及粘性耗散效应、几何弥散性质等，研究了固体中几类非线性波的传播问题，取得了以下一些主要结果： 1.利用Hamilton变分原理，导出了计及有限变形和横向剪切及横向惯性效应的弹性细杆波导中的双非线性双弥散的纵向波动方程，给出了横向剪切、横向惯性这两种效应共同作用下的弥散关系并与初等理论、Pochhammer精确理论、Rayleigh-Love修正理论的弥散关系进行了比较，结果表明，本文所得到的弥散关系曲线更接近于精确理论下基本模态的分支。利用Jacobi椭圆函数的有限展开法，得到该方程(三次非线性)及相应的截断方程(二次非线性)的精确周期解，在极限条件下双非线性双弥散纵向波动方程的三个周期解分别退化为冲击波解和孤立波解。而非线性相对较弱的截断方程则退化为相同的孤立波解而无冲击波解。通过tanh函数有限展开等方法得到了它们的另外几组孤波解。 2.计及Cox本构关系的三次非线性和横向剪切及横向惯性效应的耦合，导出了弹性细杆波导中的一种非线性纵波演化方程。给出了该波动方程的远场方程，利用G-M变换将纵波方程简化为经典的KdV方程，利用Hirota方法给出了它的单孤波解以及双孤波解，分析表明应变孤波产生于杆件的物理非线性和几何弥散两种效应的相互平衡。并定量地描述了孤波对于固体结构的影响。通过相平面分析法对弹性细杆波导中的两种非线性纵波方程进行了定性分析，结果表明，当行波波速大于剪切波速度时，可能出现孤立波解，反之，则可能出现冲击波解。 3.考虑了结构的有限变形引起的非线性效应、粘性耗散和几何弥散效应的耦合，建立了弹性细杆波导中的另一个几何非线性纵波的波动方程，用特征线法得到它的特征线和特征线上的相容关系，分析了粘性耗散和几何弥散效应对波的传播速度的影响。利用奇异摄动理论中的多尺度变换法对导出的几何非线性演化方程进行简化，得到了经典的KdV-Burgers方程。当忽略粘性耗散效应时，几何非线性演化方程可简化为KdV方程；当忽略横向惯性效应时，它可简化为Burgers方程。并给出了Burgers、KdV、KdV-Burgers三种方程相应的稳态解分别为激波解、孤波解和振荡孤波解或激波解。在相平面上对这三种非线性方程进行了定性分析。结果表明，Burgers方程在相平面上有相应于激波解的异宿轨道；KdV方程有相应于孤波解的同宿轨道；KdV-Buegers方程有相应于振荡孤波解的鞍-焦异宿轨道和相应于激波解的鞍-结异宿轨道。 4.考虑了梁的大挠度引起的几何非线性效应和梁的转动惯性导致的弥散效应，利用变分法建立了梁中非线性弯曲波的波动方程。利用Jacobi椭圆函数的有限展开法，得到了非线性弯曲波动方程的三个精确周期解。在极限条件下这些周期解分别退化为冲击波解和孤波解。对导出的非线性弯曲波动方程在相平面上进行了定性分析，结果表明，非线性弯曲波动方程在相平面上存在同宿轨道和异宿轨道，分别相应于方程的孤波解和冲击波解。利用约化摄动法从非线性弯曲波动方程中导出了非线性Schr(o)dinger方程，从理论上证明了考虑梁的大挠度和转动惯性时梁中存在包络孤立波，并给出了该系统中可能存在亮孤子或暗孤子的条件。 5.对于非圆截面的弹性细杆波导，计及有限扭转变形引起的扭矩-转角非线性关系和非圆截面的翘曲运动引起的弥散效应，导出了非圆截面弹性杆扭转运动的非线性弥散方程。利用Jacobi椭圆函数的有限展开法，得到了非线性扭转波动方程的三种精确周期解以及相应的冲击波解和孤立波解，并给出了冲击波和孤立波存在的必要条件。这与相平面上定性分析的结论完全一致。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

第一章绪论

第二章一维细杆中的非线性纵波

第三章粘弹性杆中的几何非线性波

第四章梁中的非线性弯曲波

第五章非圆截面杆中的非线性扭转波

第六章全文总结

参考文献

附录

致谢

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