Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明

摘要

作为微积分理论的发展，分数阶微积分的概念人们早已提出，实际应用的介入又为它注入了新的生机。但由于分数阶微积分的定义有多种不同形式，各呈现了不同的运算关系，给应用带来了困难，特别是在非数学领域研究中，运算关系比较混乱，为此本文主要针对Riemann—Liouville分数阶微积分的定义展开讨论。 本文的主要工作： 第一，针对R-L分数阶微积分的定义，探讨了分数阶微积分中的一些性质，整理并证明了分数阶微分、分数阶积分以及整数阶微积分运算之间的线性性、交换性与结合性，澄清了运算顺序交换的条件与关系。使分数阶微积分与整数阶微积分和谐、统一，进而使实数阶微积分的理论进一步系统化，为工程实际应用提供了依据，便于应用。 第二，研究了积分函数D-αα f(t)连续性问题。给出了积分函数D-αα f(t)连续的充分条件：如果函数f(t)∈C([a，b])且满足H(o)lder条件，则D-αα f(t)连续。以及D-αα f(t)绝对连续的充分条件：如果函数f(t)εLαα([a，b])，则D-αα f(t)是在区间[a，b]上绝对连续的函数。 第三，研究了函数的分数阶可微性问题，给出了函数分数阶可微的充分条件：如果函数f(t)在区间[a，b]上绝对连续，则f(t)在区间[a，b]上几乎处处α(0＜α≤1)阶可微。

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文摘

英文文摘

论文说明：主要符号说明

声明

第一章分数阶微积分的概念

1.1分数阶微积分简介

1.2分数阶微积分的定义

1.3 小结

第二章分数阶微积分运算性质及其证明

2.1分数阶微积分运算的线性性质与Leibnitz公式

2.1.1线性性

2.1.2分数阶积分、微分的Leibnitz公式

2.2 R-L分数阶积分、微分间的运算关系

2.2.1 R-L分数阶积分的交换性与结合性

2.2.2整数阶微分和分数阶积分间的运算关系

2.2.3 R-L分数阶积分与微分间的运算关系

2.3分数阶微分间的结合律

2.3.1整数阶和分数阶微分间的运算关系

2.3.2分数阶微分间的交换律

2.4分数阶微分、积分的Laplace变换

2.5分数阶微分、积分的Fourier变换

2.6 小结

第三章分数阶微积分的连续性及可微性研究

3.1分数阶积分的连续性

3.2函数的分数阶可微性

3.3解析函数的分数阶定积分

3.4 小结

第四章结束语

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的论文