强保持K-斜交换性映射的刻画问题研究

摘要

令R是一个对合环(代数),对于给定的正整数k≥1,A与B的k-斜交换子递推地定义为*[八別知=*[A,B]k=*[A,*[A,B]k-1]1,其中*[A,B]0=B,*[A,B]1=[A,B]*=AB-BA*。若映射Φ:R→R满足*[Φ(A),Φ(B)]k=*[A,B]k对任意A,B∈R都成立，则称Φ强保持k-斜交换性。本文讨论对合素环上强保持k-斜交换性映射的刻画问题，主要结果如下：
　　(1)令R是含有非平凡对称幂等元及单位元的对合素环，Φ是R上的满射。那么Φ强保持2-斜交换性的充分必要条件是存在λ∈Cs满足λ3= I使得Φ(A)=λA对任意A∈R。其中I是R的单位元，Cs是R的对称扩展中心。在对环R附加一些较弱的条件下，也可得到Φ强保持3-斜交换性的充分必要条件是$具有上述形式但λ4= I。
　　(2)设M2(F)为实或复数域F上的二阶矩阵代数。Φ是M2(F)上值域包含所有一秩投影的映射。本文证明了Φ强保持k-斜交换性的充要条件是存在1的k+1次根λ∈F,使得Φ(A)=λA对所有A∈M(F)都成立。
　　（3)令H是维数大于2的复Hilbert空间，A是H上自伴标准算子代数。设k≥4,Φ是A上的值域包含所有一秩投影的映射，则Φ强保持k-斜交换性的充分必要条件是Φ(A)=A对任意A∈A都成立，或Φ(A)=-A对任意A∈A都成立；当k是偶数时后一情形不出现。

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