算子半群和非局部抽象柯西问题

摘要

算子半群理论是泛函分析的一个内容丰富的重要分支，其理论自建立以来像其他学科一样，也经历了由初创到不断完善，成熟，丰富和扩展等阶段.该理论可以用在很多实际问题中，例如量子力学中的Schrodinger方程，热传导方程，以及非局部抽象柯西问题.本文主要讨论两个问题.一个是强连续算子半群的生成元预解式在一条垂直线上的性质，二是利用算子半群理论讨论非局部抽象柯西问题.
　　在本文的第1章，我们讨论如下形式的非局部抽象柯西问题解的存在性和正则性.｛ du/dt+ Au(t)=f(t,u(t)),t∈(0，T),(1.1)u(0)=g（u).
　　柯西问题的研究最初是从局部问题开始的，文献[2]对下列柯西问题进行了深入细致的研究，｛du/dt+Au（t）=f（t,u（t)），t∈(0，T)，u(0)=x.分别讨论了当-A是强连续半群、解析半群以及紧半群的生成元时，初值问题解的性质.
　　非局部抽象柯西问题的研究最初是由Byswski在[1]中提出的.它比传统的初始值问题在物理中有更好的应用，比如说对于试管中气体扩散现象的研究.关于它的解的存在性已在[1-9]中被深入研究过，而且研究领域也越来越广.许多学者利用不同的不动点定理证明其温和解的存在性.在文献[3]中，作者利用了Schaefer不动点定理证明了非线性多值抽象柯西问题积分解的存在性;而在文献[5]中，作者使用Darbo-Sadovskii不动点定理以及Petryshyn定理证明了半线性以及非线性非局部抽象柯西问题解的存在性和渐近性.另外在文献[6]中作者又利用了Sadovskii's不动点定理证明了半线性非局部微分方程温和解的存在性.
　　本文主要是通过定义一个映射，巧妙的把非局部问题转化为局部问题，利用[2]中已经得到的一些结果，使其存在唯一温和解和古典解.
　　我们讨论半线性非局部抽象柯西问题满足什么条件时存在唯一温和解及古典解.本文的主要结果如下.
　　定理1.1.若初值问题(1.1)满足以下条件:
　　(A1)若-A是C0半群R(t)的无穷小生成元，令N=sup‖ R(t)‖,t∈(0，T).(A2)f∈C(0，T)×X，X），且关于第二个变量是一致利普希茨的，即对于任意的u1，u2∈X，X是一个Banach空间，存在L＞0，使得‖ f(t, u1)-f(t, u2)‖≤L‖u1-u2‖.(A3)g:C(0，T)→X关于u是一致利普希茨的，即对于任意的u1，u2∈X，存在M＞0，使得‖ g(u1)-g(u2)‖≤M‖u1-u2‖.(A4) MN+TNL＜1.则问题(1.1)有唯一温和解.
　　定理1.2.若问题(1.1)满足定理1.1条件，又f:[0，T]×X→X是连续可微的，且g(u)∈D(A)，那么初值问题(1.1)有唯一古典解.
　　定理1.3.若初值问题(1.1)满足以下条件:
　　(B1)若-A是解析半群R(t)的无穷小生成元，0∈ρ(A)，‖ R(t)‖≤ N.而且对于0＜α＜1，有‖ AαR(t)‖≤ Cαt-α,(V)t∈(0,T).
　　(B2)令U是R+×Xα中的一个开集，Xα是对D（Aα）赋以‖x‖α=‖ Aαx‖的一个Banach空间，f:U→Xα，对于每一个(t，x)∈U，有一个邻域V(∈)U及常数L≥0，0≤θ≤1.使得对任意（ti，xi）∈V,i=1，2，都有‖f(t1,x1)-f(t2,x2)‖≤ L(|t1-t2|θ+‖ x1-x2‖α).
　　(B3)存在一个连续非递减的实值函数k(t)，使得‖ f(t,x)‖≤ k(t)(1+‖x‖α),t≥t0,x∈Xα.
　　(B4)对于α＞0，g:Xα→Xα连续且满足‖ g(u1)-g(u2)‖α≤M‖u1-u2‖α,(V)u1,u2∈Xα.
　　(B5)1-CαT1-α/1-α＞0且|(1-α)MN/1-α-LCαT1-α|＜1.则下列问题有唯一解.｛du/dt+ Au(t)=f(t，u(t))，t∈(0，T)，(1.2)u(t0)=g(u).
　　本文的第二章讨论有关强连续半群生成元预解式的性质.
　　强连续算子半群生成元预解式沿一条垂直线的性质可以刻画算子半群的性质.例如，在Hilbert空间中T(t)立刻范数连续等价于生成元预解式沿某条垂直线衰减到零([10]);在Hilbert空间中T(t)，(‖ T(t)‖≤Meωt)对t＞t0≥0范数连续当且仅当对某个μ＞ωlim|τ|→∞‖R(μ+i(τ);A)T(t0)‖=0([11]);在Hilbert空间中如果ω＜0，T(t)最终范数连续当且仅当存在C＞0使得limsup|s|→+∞‖n!Rn(is; A)‖1/n≤C,(V)n∈N([12]);在Banach空间中T(t)是解析的当且仅当存在C＞0和δ＞0使得对每一个σ＞ω+δ，τ≠0，‖R(σ+i(τ);A)‖≤C|(τ)|([2]);在Banach空间中如果对某个μ＞ωlimsup|τ|→+∞ln|(τ)|·‖R(μ+ i(τ);A)‖=C＜+∞，那么T(t)对t＞3C可微（见[2]）;空间Lp(Ω，v)(1＜p＜+∞)上的正半群T(t)立刻范数连续当且仅当对某个α＞s（A）（无穷小生成元A的谱界）lim|(τ)|→+∞‖R（α+i(τ);A）‖=0;([13])等等.本文的主要结果有:
　　定理2.1设A是Banach空间上满足‖T(t)‖≤Meωt的C0半群T(t)的无穷小生成元.则对任意σ＞ω，x∈D(A)，存在正数b、C使得：
　　(i)‖R(σ+i(τ);A)‖≥C|(τ)|，|(τ)|≥b;
　　(ii)‖R(σ+i(τ);A)x‖=O（1/|(τ)|）当|τ|→+∞.
　　定理2.2设A是Banach空间上满足‖T(t)‖≤Meωt的C0半群T(t)的无穷小生成元，则下列命题成立.
　　(i)如果T(t)当t≥t0＞0可微，那么存在μ＞ω使得limsup|τ|→+∞|τ|·‖R(μ+i(τ); A)T(t0)‖＜+∞.
　　(ii)如果存在t0≥0和μ＞ω使得(i)中不等式成立，那么T(t)当t＞3t0可微.
　　这些结果在理论上和实际上都有一定意义.

目录

摘要

第一章 非局部抽象柯西问题

§1．1 引言

§1．2 预备知识

§1．3 主要结果的证明

第二章 强连续半群生成元预解式的性质

§2．1 引言

§2．2 预备知识

§2．3 主要结果及证明

结束语

参考文献

发表文章目录

致谢

个人简况

声明