薛定谔方程的高精度差分格式及紧交替方向格式

摘要

薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，其在量子力学中的地位相当于牛顿力学在经典力学中的地位，其重要性可见一斑。耦合非线性薛定谔方程(CNLS)由于其解的一些特性，在数学、物理、化学等领域都引起了广泛的关注。本文针对此类方程提出了两种高精度差分格式，通过大量的数值试验，讨论了不同参数取值对解的影响。 第一章主要介绍了薛定谔方程的解——波函数的物理意义，CNLS的参数的物理意义及已有的理论结果、两类方程的研究现状。最后给出了后文用到的基本引理及各种记号的定义。 第二章提出了求解CNLS的两种差分格式，证明了第一种格式关于电荷能量守恒，第二种格式具有高精度及高稳定性。随后进行了数值试验，在与前人结果进行比较的基础上，证明本文的两种格式都具有较高的精度，特别是本文所提格式，精度及稳定性比以往格式有了很大的提高。取耦合方程不同的参数，观察分析两个耦合波碰撞前后的行为变化。 第三章针对二维线性薛定谔方程提出了局部一维格式及紧交替方程格式并证明了两种格式的稳定性，随后用两种格式分别做了数值试验，并跟已有的求解此问题的方法进行比较，得到了很好的结果。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章引言

1.1薛定谔方程的背景及有关物理概念的简介

1.2薛定谔方程的研究现状

1.3本文工作

第二章耦合非线性薛定谔方程的高精度差分格式

2.1二阶守恒差分格式

2.1.1差分格式的提出

2.1.2非线性方程的求解

2.1.3截断误差的阶数

2.1.4差分格式的守恒律

2.1.5稳定性分析

2.2四阶紧差分格式

2.2.1非线性方程的求解

2.2.2稳定性分析

2.3数值试验

第3章二维线性薛定谔方程的紧交替方向格式

3.1局部一维格式

3.2交替方向紧差分格式

3.3逼近误差估计

3.4数值实验

参考文献

附录

致谢

攻读硕士期间完成的文章