差分多项式分担非零多项式的亚纯函数的唯一性

摘要

二十世纪二十年代，芬兰数学家R.Nevanlinna，建立了第一基本定理和第二基本定理，称之为Nevanlinna理论，这是二十世纪最重大的数学成就之一。Nevanlinna理论不仅是现代复分析理论研究的重要工具，对数学许多其它分支的发展，也产生了重大而深远的影响。
　　 近几年来，Halburd-Korhonen[16]、Chiang-Feng[25]、Laine和C.C.Yang[19]等人建立了差分Nevanlinna理论，应用这些理论一些学者开始从事差分唯一性问题的研究，参看[28，29，31]。
　　 本文主要介绍在导师精心指导下对差分多项式分担非零多项式或慢增长的亚纯函数的几个问题的研究，全文共分三章。
　　 第一章，主要介绍与本文有关的Nevanlinna基础理论中的主要概念，常用记号及差分中的Nevanlinna理论。
　　 第二章，主要介绍在有穷级条件下，一类整函数的差分多项式CM分担一个非零多项式或一个慢增长级的亚纯函数的唯一性问题的研究。
　　 第三章，主要介绍一类广泛的差分多项式IM分担非零多项式或一个慢增长级的亚纯函数的唯一性问题的研究。主要结果如下：
　　 定理1.设f，g为两个判别的超越整函数且为有穷级，P为一个非零多项式且设η为一非零复常数，n≥4为一正整数满足2deg(P)　　 (Ⅰ)若n≥4且fn(z)f(z+η)/P(z)为gn(z)g(z+η)/P(z)的莫比乌斯变换，则以下两种情形之一成立：(i)f=tg，其中t≠1为一常数且满足tn+1=1.(ⅱ)f=eQ及g=te-Q，其中P退化为一常数c，t为一常数且满足tn+1=c，Q为一非常数多项式。
　　 (Ⅱ)若n≥6，则以上Ⅰ(i)与Ⅰ(ⅱ)之一成立。
　　 定理2.设f，g为两个判别的超越整函数且为有穷级，α为一非零有穷亚纯函数且满足ρ(α)<ρ(f)，且设η为一非零复常数，n与m为两个正整数且满足n≥m+6.若fn(z)(fm(z)-1)f(z+η)-α(z)与gn(z)(gm(z)-1)g(z+η)-α(z)CM分担0，则f=tg，其中t为一常数且满足tm=1。
　　 定理3设f，g为有穷级的超越整函数且CM分担0，η为一非零复常数，令P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0(an≠O)，为非零多项式，n>3Г1+2Г2+4为一整数.若P(f)f(z+η)与P(g)g(z+η)CM分担1，则以下结果之一成立：
　　 (1)f=tg，td=1。
　　 (2)f=eα，g=ce-α，其中α为多项式，c为一常数，a2nc(n+1)=1。
　　 定理4设f，g为有穷级的超越整函数且CM分担0，η为一非零复常数，n为一整数且满足degP02Г1+1且F为G的一个Mobius变换或若n>2Г2+1，则以下结果之一成立：
　　 (1)f=tg，td=1。
　　 (2)f=eα及g=te-α，其中P0退化为一常数c，t为一常数且满足tn+1=c2，α为一非常数多项式。