具有依赖于状态脉冲的积分微分系统的稳定性研究

摘要

脉冲积分微分系统在自然科学中具有广泛的应用背景，很多物理学问题的数学模型、生物学中的控制模型都可以用脉冲积分微分系统来描述，例如，疾病通过传染源进行传播，害虫入侵的扩散速度等生态学模型，因而具有重要的应用价值．近年来，对其研究也引起了专家的兴趣与关注，并取得了重要进展[1-9].但这些研究成果大都侧重于具固定时刻脉冲的积分微分系统；而具依赖于状态脉冲的积分微分系统包含具固定时刻脉冲的积分微分系统这一特殊情形，具有更广泛的应用背景，然而，由于脉冲依赖于轨线状态，致使系统轨线的运动形态更为复杂，对其研究比具固定时刻脉冲的情况要更困难，因此，对它的研究比较缓慢[10-16].目前，对具依赖于状态脉冲积分微分系统(I)的研究也已经出现了一定的成果，在对该系统的研究中，文[5]给出了一个具依赖于状态脉冲的积分微分系统解的存在性结果，文[6]则利用Lyapunov泛函方法给出了系统渐近稳定的若干判定准则．整体看来，对该系统稳定性的研究尚处于起步阶段，还有大量工作要做．
　　在自然界中，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的状态，即事物产生反应的原因和引起的效应之间往往存在一个时间上的滞后，并且经常会有瞬时突变现象，这些现象的数学模型可归结为带有时滞的脉冲微分系统来研究，它比脉冲微分系统更丰富，也更符合现实生活中的数学模型．近几十年以来，关于带有时滞的脉冲微分系统已经被广泛的研究，并出现了不少结果[17-22,25-32],其中，3/2稳定性方法是研究带有时滞的微分系统的稳定性的一种非常有效的方法[25-32]；近几年，对脉冲积分微分系统的研究引起了专家们的兴趣和关注，并且取得了一定进展．然而对带有时滞和脉冲的积分微分系统的研究却才刚刚起步[33-35]，还有许多问题有待解决，因此具有广阔的研究前景．
　　本文第一章首先给出了具依赖于状态脉冲的积分微分系统(I)的相关预备知识，然后通过将系统(I)与不具有脉冲的纯量积分微分系统进行比较，建立了一个新型的比较原理，并进一步利用这一比较原理对系统(I)的稳定性进行了研究，得出了系统(I)在两个测度下的稳定性准则，最后给出例子说明其应用性。
　　第二章通过借鉴研究泛函微分系统的Lyapunov函数结合Razumikhin技巧的思想来研究系统(I)在两个测度下稳定的直接结果，给出了若干系统(I)在两个测度下稳定和渐近稳定的判定准则，这些稳定性准则中均减弱了系统在脉冲点处的限制条件，并且本文所找的Lyapunov函数沿解轨线的一阶导数不再局限于常负或定负，甚至可以不用其导数来限制其增长速度，不再局限于对连续或离散部分设置条件，而是对其连续或离散部分设置混合条件．本章最后给出具体例子说明定理的应用．
　　第三章首先给出了一类带有时滞和固定时刻脉冲的积分微分系统(Ⅱ)的相关预备知识，然后运用3/2稳定性方法研究了系统(Ⅱ)的稳定性，给出了系统(Ⅱ)一致稳定和渐近稳定的判定准则．

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第一章 具有依赖于状态脉冲的积分微分系统稳定性判定的比较结果

第二章 具有依赖于状态脉冲积分微分系统的稳定性判定的直接结果

第三章 一类带有时滞和固定时刻脉冲的积分微分系统的稳定性

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