Non-Fickian扩散问题的局部间断有限元方法及其收敛性分析

摘要

Non-：Fickian扩散问题刻画了诸如流体在高聚物中的渗透和扩散，湿气在高聚物膜中的迀移等重要物理现象，在实际工业生产中具有大量的应用.大量的实验表明，流体在上述渗透与扩散过程中都伴随有以定常速度运动的陡峭锋线前沿，称之为non-Fickian现象，因而该流动称之为non-Fickian流.
　　在工业应用过程中，人们不仅关心non-：Fickian流体在渗透和扩散过程中的浓度，同时还关注通过多孔介质时流体通量.基于工业工程中对non-：Fickian流的浓度、粘弹性应力以及扩散通量等三个变量的同时关注，我们期望建立的数值方法能同时高精度逼近浓度、粘弹性应力和扩散通量，从而使数值模型更能体现原始问题的数学物理本性.
　　本文旨在对下列非线性non-Fickian扩散问题（此处公式省略）建立了能同时高精度逼近浓度粘弹性应力a和扩散通量（此处公式省略）的局部间断有限元（LD G)方我们的论证表明，该方法继承了局部间断有限元(LDG)方法的优点，即高精度逼近浓度粘弹性应力a和扩散通量（此处公式省略）,且通过扩散通量g和粘弹性应力，我们很容易得到用以描述陡峭锋线前沿的变量Vu.
　　我们利用e-不等式，Gronwall不等式等数值分析技术对上述局部间断有限元(LDG)方法进行分析，在网格比（此处公式省略）,其中h为空间剖分步长，k为时间剖分步长，l为正常数）条件下证明了全离散局部间断有限元格式的稳定性.进一步，我们引入L2投影并使用归纳假设对误差方程进行分析，得到了在网格比限制条件下浓度^、粘弹性应力^和伴随向量g的L2误差估计.通过M a tla b编程进行的数值实验表明，实验结果和理论分析结论一致.
　　我们还试图对上述问题建立无条件稳定格式，构造了一种线性向后欧拉局部间断有限元全离散格式，获得了部分结果.通过将真解与离散解的误差表达为空间离散误差和时间离散误差两部分，我们仅证明了时间离散解的有界性以及时间离散误差的无条件收敛性.但从进行的数值实验看，向后欧拉局部间断有限元全离散格式具有无条件收敛和稳定的性质.

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第一章引言

第二章数学模型

第三章非线性Non-Fickian问题的局部间断有限元（LDG) 方法

§ 3 .1引言

§ 3 .2全离散局部间断有限元(LDG)格式的构造

§ 3 .3全离散局部间断有限元(LDG)格式的稳定性分析

§ 3 .4全离散局部间断有限元（LDG) 格式的收敛性分析

§ 3 .5数值算例

第四章非线性Non-Fickian问题的局部间断有限元（LDG)格式的无条件收敛性

§ 4 .1引言

§ 4 .2全离散局部间断有限元(LDG)无条件格式的构造

§4.3时间离散系统及其解的正则性证明

§4.4全离散格式无条件收敛性的数值验证

第五章评注

参考文献

致谢