基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程的正解与变号解

摘要

随着数学研究的不断发展，人们发现在解决物理问题时应用变分方法来研究微分方程比较方便，变分方法因此日益受到重视.变分方法的发展大致经历了两个阶段，二十世纪五十年代以前是以古典变分法为主的第一阶段，七十年代以后进入以有限元法为主的第二阶段，并从结构力学和固体力学发展到流体力学和其他领域.在进入第二阶段即有限元法为主的过程中，人们发明了山路引理和喷泉定理等临界点理论，并开始用这些临界点理论研究非线性方程问题，特别是非线性椭圆边值问题.到目前为止，在相应的方程中得出了很多有关解的有意义的结果.
　　Kirchhoff在研究弹性带的自由振动时，第一次提出了基尔霍夫型微分方程.人们在量子力学中研究带电波与自身静电场的相互作用时，作为其物理方程第一次提出了薛定谔-泊松型方程.随着以上两种方程的研究，人们开始关注基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程，并得到了关于解的多样性等结果.
　　本文主要利用变分方法，山路引理，对称山路引理的变形等临界点理论，得到两类基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程的正解，负解，变号解及无穷多变号解的存在性的结果.主要包括以下三章：
　　第一章主要介绍了基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程的研究现状和一些本文中常用符号及基础知识.
　　第二章讨论了在R上的一类基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程：（此处公式省略）
　　其中（此处公式省略）
　　利用变分方法，在某些适当的条件下，我们可以得到该问题的一个正解，它是相应地能量泛函的一个局部极小值点.利用山路引理，我们可以得到该问题的另一个不同的正解.
　　第三章讨论了在R上的一类基尔霍夫-薛定谔-泊松型方程：（此处公式省略）
　　其中（此处公式省略）上面的非平凡的函数.利用山路引理，我们可以得到该问题正负解的存在性.利用变形的山路引理，我们可以得到变号解的存在性.利用对称山路引理，在一些适当的条件下，我们可以得到该问题无穷多变号解的存在性.

目录

声明

第 一 章绪论

§ 1 .1研究现状

§ 1 .2 常 用 记 号 及 基 础 知 识

第 二 章 一 类 基 尔 霍 夫 -薛 定 谔 -泊 松 型 方 程 的 正 解 的 多重性

§ 2 .1预备知识和主要结果

§ 2 .2 极 小 化 方 法 下 正 解 的 存 在 性

§ 2 .3 山 路 引 理 下 正 解 的 存 在 性

第 三 章 一 类 基 尔 霍 夫 -薛 定 谔 -泊 松 型 方 程 的 正 解 ,负 解 和 变号解

§ 3 .1 预 备 知 识 和 主 要 结 果

§ 3 .2 临 界 点 定 理

§ 3 .3 主 要 结 果 的 证 明

参考文献

致谢