拟共形映射中区域的单叶性内径与Schwarz型定理

摘要

区域的单叶性内径是单叶函数，拟共形映射与万有Teichmüller空间中的核心问题之一，它也是目前复分析学者们比较感兴趣的研究问题之一。单叶性内径问题与许多其它问题密切相关。
　　本文主要研究了拟共形映射中区域的单叶性内径和Schwarz型定理的问题。全文共分为四个部分。
　　第一章，绪论。在这一章中，我们简单介绍了拟共形映射的基本理论，回顾了拟共形映射及Schwarz导数理论的发展及区域单叶性内径的研究现状，并简要介绍了作者的主要工作。
　　第二章，圆内接四边形区域的单叶性内径。对于圆内接四边形区域的单叶性内径，我们从经典的Schwarz-Christoffel公式出发，利用Schwarz导数极值集的方法，并借助于Mathenatica软件包，得到了一类圆内接四边形区域的单叶性内径并证明了该四边形区域为Nehari圆。
　　第三章，Pre-Schwarz导数单叶性内径。关于区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径与Schwarz导数单叶性内径问题密切相关，但是目前的结论却非常有限。本章中我们将对一些已知区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径进行初步研究，并对有关结果进行分析，说明现有结果需要进一步改进。
　　第四章，拟共形映射中的Schwarz型定理。本章利用拟共形映射中两个重要的概念：共形模与极值长度，通过讨论和估算区域R与f(R)的模及它们之间的关系，并应用Teichmüller模定理、解析开拓方法和复变函数中的一些性质，得到了拟共形映射中的Schwarz型定理，它使我们可以更清楚地了解区域内拟共形映射的一些性质。

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Contents

1 序言

1.1 拟共形映射理论的发展

1.2 论文所研究的主要问题

2 圆内接四边形区域的单叶性内径

2.1 引言

2.2 主要结果及证明

3 Pre-Schwarz导数单叶性内径

3.1引言

3.2 关于区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径下界的一点注记

4 拟共形映射中的Schwarz型定理

4.1引言

4.2 主要结果及证明

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间主要成果