基于Markov转换的随机传染病模型的灭绝性与遍历性

摘要

本文研究传染病防治等实际问题，建立了两类具有Markov转换的随机生物数学模型：一是具有Markov转换和脉冲毒素输入的植物传染病模型，二是具有Markov转换的随机非线性SIRS模型.运用随机微分方程相关理论，研究了模型的灭绝性、平均意义下的持久性以及遍历性.通过数值模拟，验证了结论的正确性，并讨论了模型的生物意义.
　　第一章，主要介绍随机微分方程以及随机过程的基本理论和方法，给出了了平均意义下的持久性与灭绝性、遍历性与平稳分布的相关定义、引理和定理，并对传染病动力学的一般理论进行了简要介绍.
　　第二章，建立一类具有Markov转换和脉冲毒素输入的植物传染病模型.首先，通过构造Lyapunov函数并运用伊藤公式得出染病植株趋于灭绝的条件；其次，通过比较定理、强大数定律，证明在一定条件下，染病植株具有平均意义下的持久性；然后，运用Markov转换相关理论证明该系统是遍历的，且具有平稳分布；最后，通过具体实例，利用数值模拟验证了理论分析的正确性并讨论了系统的生物意义.
　　第三章，建立了一类具有Markov转换的随机非线性SIRS传染病模型.首先，通过构造Lyapunov函数并运用伊藤公式得出疾病灭绝与持久的阈值；其次，运用Markov转换及矩阵理论证明该系统在一定条件下是遍历的并且有唯一平稳分布；最后，通过具体实例，利用数值模拟验证了结论的正确性.
　　第四章，论文总结及未来工作的展望.

目录

声明

1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 预备知识

1.2.1 随机微分方程的基本概念

1.2.2 随机积分以及It(o)公式

1.2.3 随机积分方程的解

1.2.4 重要不等式[17]

1.3 本文的主要工作

2 具有Markov转换和脉冲毒素输入的植物传染病模型的研究

2.1 生物背景与模型的建立

2.2 灭绝性和平均意义下的持久性

2.3 遍历性

2.4 数值模拟与结论

3 基于带有Markov转换的非线性的SIRS模型的研究

3.1 生物背景与模型的建立

3.2 灭绝性和平均意义下持久性

3.3 平稳分布和遍历性

3.4 数值模拟与结论

4 总结与展望

参考文献

致谢

攻读硕士期间主要成果